[3]ct dxdyddz
[导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增
加]
[1]
+
)(t)d ] xdyd
x x y y z z
[2]qvdxdyddz
[3]ct dxdyddz
由[1]+ [2]= [3]： 导热微分方程式、导热过程的能量方程
c t x( x t) y( y t) z( z t) q v
内热源均匀分布；qv 表示单位体积的导热体在单 位时间内放出的热量
导热体内取一微元体
热力学第一定律：
Ｕ = Q ＋ W
Q ：微元体与环境交换的热
Ｕ ：微元体热力学能（内能）的增量
W ：微元体与环境交换的功
W = 0,
∴ Q = ΔU
Q = ΔU
导入与导出净热量
Q
内热源发热量
dτ 时间内微元体中：
dτ 时间内、沿z 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ zdQ zdzqzzdxdd ydz[J]
[导入与导出净热量]:
[1](qx qy qz)dxdyddz[J]
x y z
[导入与导出净热量]:
[1](qx qy qz)dxdyddz[J]
x y z
傅里叶定律：
qx
t x
qy
t y
qz
t z
[1][(t)(t)(t)d ] xdy[Jd ]
[导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量
dτ 时间内、沿x 轴方向、 经x 表面导入的热量：
dQx= qx dydz∙dτ [J]
dτ 时间内、沿x 轴方向、 经x+dx 表面导出的热量：
dQx+dx= qx+dx dydz ∙dτ [J]
qxdxqx
qx x
dx
dτ 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ xdQ xdxqxxdxdd yd[Jz]
dτ 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ xdQ xdxqxxdxdd yd[zJ]
dτ 时间内、沿y 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQ ydQ ydyqyy dxdyddz [J]
2t 2t 2t 0 或 2t 0 x2 y2 z2
二、其他坐标下的导热微分方程
1. 对于圆柱坐标系 （r, ϕ, z）
x = r cosϕ ; y = r sinϕ ; z=z
q gr a td t ( ti 1 t j tk ) r r z
c t 1 r r(r r t) r 1 2 ( t) z( z t) q v
导热微分方程推导优秀课件
第二章 导热的基本定律及稳态导热
§2-1 导热的基本概念和定律 §2-2 导热微分方程 §2-3 一维稳态导热 §2-4 通过肋片的导热分析
§2-1 导热的基本概念和定律
温度场 t = f (x, y, z,τ )
等温面与等温线
t+Δt t t-Δt
等温线疏密程度的物理意义
导热微分方程式
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v
非稳态项
扩散项
源项
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一 般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的 变化关系。
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v 简化该式：
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
t a(x2t2y2t2z2t2)qcv 或
t a2t qv
c
式中，a/(c)-热扩散率，m2/s.
（Thermal diffusivity）
∇2 — 拉普拉斯算子
• 热扩散率a 反映了导热过程中材料的导热能力（ λ ）与 沿途物质储热能力（ ρ c ）之间的关系。
温度梯度
gradLtim tn tn n 0n n
热流密度矢量 q gradt
t+Δt t
t-Δt
导热系数 q
gradt
• 影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温 度、湿度、压力、密度等。
• 不同物质的导热性能不同：
金属非金属
固体 液体 气体
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
傅里叶定律 qgraW/(d m·ºtC)
x x y y z z
[导[导入入与与导导出出净净热热量量] ]+[内[内热加热源]源发发热热量量] ][=热[力热学力能学的能增的加增] 2、 微元体内热源的发热量
d时间内微元体中内热源的发热量：
[2]qvdxdyddz [J]
3、微元体热力学能的增量 dτ 时间内微元体中热力学能的增量：
[3]mcd dtxdcy tddz
a/(c)
• 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力。
• 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体 内部各处的温度差别越小。
a木材=1.5×10−7 m2/s , a铝= 9.45×10−5 m2/s ，
a铝 / a木材 ≈600
a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v 简化该式：
①若物性参数λ、c 和ρ 均为常数：
t a(x2t2y2t2z2t2)qcv 或
t a2t qv
c
②若物性参数均为常数，且无内热源
t a(2t 2t 2t) 或
x2 y2 z2
t a2t
③若物性参数均为常数，且无内热源 ，稳态导热
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:
t = f (x, y, z,τ )
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 理论基础：傅里叶定律+ 热力学第一定律
一、导热微分方程的推导
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导 热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导 热微分方程。
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度qv [W/m3];
2. 对于球坐标系（r, θ, ϕ）
x = r sinθ ⋅ cosϕ ; y = r sinθ ⋅ sinϕ ; z = r cosθ
q gr a t d ( t ti 1 t j1 tk ) r r r si n
c t r 1 2 r (r 2 r t ) r 2 s 1i ( n s i t) n r 2 s 1 2 i n ( t) q v