h
15
开环脉冲传递函数的各种情况
连续环节串联
r*(t)
r(t) T
G1(s)
c(t) G2(s)
G (s)G 1(s)G 2(s)
G (z)Z [G 1(s)G 2(s)]G1G2(z)
h
16
连续环节之间存在同步采样开关
r*(t)
c1(t) c1*(t)
r(t) T
T G1(s)
c2(t) G2(s)
r(nT) 差分方程 c(nT)
离散时间系统
R(z)
G(z)
C(z)
离散系统输出信号 的 z 变换 C(z) 与输
入信号的 z 变换 R(z) 之比，称为离散系
统的脉冲传递函数，表示为：
R(z)
C (z)
G (z)
离散系统
C(z) G(z)
h R(z)
脉冲传函
11
➢说明
r*(t) r(t) T
T
h
6
2. 用z 变换法差分方程
(1) 已知差分方程和初始条件
n
m
aic(ki)bjr(kj)
i0
j0
c ( 0 ) , ,c ( k 1 ) ,r ( 0 ) , ,r ( k )
(2) 将方程两边作z变换，代入初始条件
n
m
Z [ a ic (k i)]c (0 ), ,c (k 1 ), Z [ b jr(k j)]r(0 ), ,r(k )
s s10
g(ksT )1(ksT )e1k0sT
G(z)k 0g(kTs)zkzz1zez10Ts z2(1(1ee101Ts0T)s)zze10Ts
h
14
例8-23：已知系统传递函数为
G(s)s2
s1 5s6
求脉冲传递函数 G (z) 。
解：
G (s)s2 s5 s1 6s 23s 12
G (z)z 2 e z 3 T sz e z 2 T s (z z ( z e 2 3 T e s )2 T z s( e e 3 2 T T s s))
i 0
j 0
得：
A (z)C (z)B (z)R (z)
(3)整理方程，写出输出变量的 z 变换 C(z)
B(z)
C(z) h R(z)
7
A(z)
(4) 将C(z)作z 反变换求出输出离散时间序列 y(k)
c(k)Z1[C(z)]Z1[B(z)R(z)] A(z)
例8-19：已知二阶差分方程和初始条件,试用
g (t) =L-1[G(s)] （3）将 g(t)采样，得离散化表达式 g (nT)
（4）由 z 变换的定义式求得脉冲传递函数
G (z)
h
13
例8-22：已知系统传递函数为 G(s) 10
s(s10)
求脉冲传递函数 G (z) 。
解： g(t) L1[G(s)] L1[ 10 ]
s(s 10) L1[1 1 ]1e10t
x (n ) 2 x (n 1 ) x (n 2 )
nxn n 1xn n 1xn 1
h
4
➢ 差分的方向：当前时刻为n
前向差分
xnx(n1)x(n)
nxn n 1xn 1 n 1xn
后向差分
xnx(n)x(n1)
nxn n 1xn n 1xn 1
h
5
➢ 差分方程：确定两个离散时间序列关系 的方程，表示为
s
c*(t) R(z)
C(z)
G(s)
c(t)
G(z)
连续环节
离散系统
输出为假想采样器
传递函数：线性环节传递函数是其脉响应函数 的拉氏变换
脉冲传递函数：线性环节及采样开关的组合体
的脉冲传递函数是线性环节脉冲响应的Z变换
h
12
由传函G(s)求取开环脉冲传函 G(z)步骤
（1）已知系统的传递函数G (s) （2）求取系统的脉冲响应函数 g (t)
c ( k n ) a n 1 c ( k n 1 ) a 1 c ( k 1 ) a 0 c ( k )
b m r ( k m ) b m 1 r ( k m 1 ) b 1 r ( k 1 ) b 0 r ( k ) ,n m
➢ 差分方程的求解
z 变换法
迭代法
差分 xnx(nT )T x[n (1)T]
忽略（T=1）
xnx(n)x(n1)
h
3
➢ 差分的阶：采样点间信号平均变化率的 不同称为差分的阶。
一阶差分 二阶差分
n阶差分
xnx(n)x(n1)
2xnxnxn1
[ x ( n ) x ( n 1 ) [ ] x ( n 1 ) x ( n 2 )]
§8.4 离散时间控制系统的数学模型
连续系统 数学模型
传递函数
离散系统 数学模型
脉冲 传递函数
h
1
• 差分方程 • 脉冲传递函数 • 状态变量(t) 微分方程 y(t)
连 续 时 间 系 统
x(nT) 差分方程 y(nT)
离 散 时 间 系 统
➢ 差分：两个采样点信息之间的微商即称为
3
…
yk
0
1 -3
7
…
yk+1
1
-3
7
-15 …
yk+2 -3
7
-15 31 …
y ( k ) 0 T ( t ) 1 ( t T ) 3 ( t 2 T ) 7 ( t 3 T )
h
10
3.开环脉冲传递函数
r(t) 微分方程 c(t)
连续时间系统
R(s) G(s)
C(s)
z变换法求差分方程的解c(n),n=0,1,2,…
c ( n 2 ) 3 c ( n 1 ) 2 c ( n ) 0
c(0)0, c(1)1
h
8
解：两边求z变换 Z [ c ( k 2 ) 3 c ( k 1 ) 2 c ( k ) ] 0即：
[ z 2 C ( z ) z 2 c ( 0 ) z c ( 1 ) ] 3 [ z C ( z ) z c ( 0 ) ] 2 C ( z ) 0
[z 2 C (z ) z ] 3 [z C (z ) ] 2 C (z ) 0
(z23z2)C(z)z
C(z)
z2
z 3z2
z
z 1
z
z 2
C (k ) Z 1 [C (z )] ( 1 )k ( 2 )k
h
9
迭代法求解
yk23yk12yk0 y0 0,y11
迭代式
yk23yk12yk
K
0
1
2
G ( z ) Z [ G 1 ( s ) Z [ ] G 2 ( s ) G ] 1 ( z ) G 2 ( z )
h
17
例8-24：比较下面两个系统的脉冲传递函数
有何差别。
T
1
(a) r(t)
s
10
c(t)
s 10
T
1T
10
(b) r(t)
c(t)
s
s 10
解：系统(a)
110 ( 1 e 1 T s0 )z G (z ) Z [ G 1 ( s )G 2 ( s ) ] Z [ss 1] 0 z 2 ( 1 e 1 T s0 )z e 1 T s0