带电体的周围产生静电场，场的分布是由电荷分布、带电体的几何形状及周围介质所决定的。

由于带电体的形状复杂，大多数情况求不出电场分布的解析解，因此只能靠数值解法求出或用实验方法测出电场分布。

直接用电压表去测量静电场的电位分布往往是困难的，因为静电场中没有电流，磁电式电表不会偏转；而且与仪器相接的探测头本身总是导体或电介质，若将其放入静电场，探测头上会产生感应电荷或束缚电荷，这些电荷又产生电场，与被测静电场迭加起来，使被测电场产生显著的畸变。

因此，实验时一般采用一种间接的测量方法（即模拟法）来解决。

【实验目的】
1．学会用模拟法测绘静电场方法。

2．加深对电场强度和电位概念的理解。

【实验器材】
GVZ-3型导电微晶静电场描绘仪。

【实验原理】 一、模拟法
模拟法本质上是用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程来模拟不易实现、不便测量的状态和过程，但是要求这两种状态或过程有一一对应的两组物理量，且满足相似的数学形式及边界条件。

一般情况，模拟可分为物理模拟和数学模拟。

物理模拟就是保持同一物理本质的模拟，对一些物理场的研究主要采用物理模拟，例如用光测弹性模拟工件内部应力的分布等。

数学模拟也是一种研究物理场的方法，它是把不同本质的物理现象或过程，用同一数学方程来描绘。

对一个稳定的物理场，若它的微分方程和边界条件一旦确定，其解是唯一的。

如果描述两个不同本质的物理场的微分方程和边界条件相同，则它们解的数学表达式是一样的。

只要对其中一种易于测量的场进行测绘，并得到结果，那么与它对应的另一个物理场的结果也就知道了。

模拟法在工程设计中有着广泛的应用。

例如，对于静电场，电场强度E 在无源区域内满足以下积分关系
0s
E dS ⋅=⎰⎰
（高斯定理）
0l
E dl
⋅=⎰ （环路定理）
对于稳恒电流场，电流密度矢量j
在无源区域中也满足类似的积分关系
0s
j dS ⋅=⎰⎰ （连续方程）
0l
j dl ⋅=⎰
（环路定理）
在边界条件相同时，二者的解是相同的。

由于稳恒电流场易于实现测量，所以就用稳恒电流场来模拟与其有相同数学形式的静电场。

二、用电流场模拟静电场
1．均匀带电长直同轴圆柱面间的电场分布
本实验被模拟的是在真空中均匀带电的（无限）长直同轴圆柱面间的静电场，如图5-21-1a 所示。

其中内圆柱体A 的半径为0r ，外圆筒B 的内半径为0R ，二者均为导体。

设电极A 的电位为0U ，电极B 的电位为零（接地），A 、B 分别带等量异号电荷。

由对称性可知，该静电场的等位面是许多同轴管状柱面，若垂直于轴线做一个截面
S ，则这些柱面与S 面的交线是一系列同心圆，每一个圆就是一条等位线。

根据电场线与等位线处处垂直的关系，可绘出电场线，如图5-21-1b 所示。

由于S 面为任一截面，若该面的电场分布清楚了，则整个静电场的电场分布就清楚了。

为了计算电极A 、B 间的静电场，我们在轴线方向上取一段单位长度的同轴柱面，其横截面入图5-21-1c 所示。

设内外柱面单位长度带电量分别为λ+与λ-，则两柱面间距离轴线为r 处点的电场强度E 的大小为
02E r
λ
πε=
则两极间的电位差 0
00000
ln 22R R r r R dr U Edr r r λλ
πεπε=
=
=⎰⎰ （5-21-1） 同样，半径为r 的柱面上任意一点与外电极B 间的电位差为 0
00
0Edr ln 22R R r r
r
R dr U r r
λλ
πεπε=
=
=⎰
⎰
（5-21-2） 由式（5-21-1）和式（5-21-2）得 )
/ln()
/ln(0000
r R r R U U r = （5-21-3）
从上式可以看出r U 与)/ln(0r R 呈线性关系。

2．同轴圆柱面电极间电流场的电位分布
如图5-21-2a 所示，模拟电极由半径为0r 的圆柱形金属电极A 和内半径为0R 的圆柱形金属电极B 组成，两电极同心地紧压在导电微晶s '上。

通电后，在两电极间的导电质中形成稳恒电流场。

电流从电极A 均匀辐射状的流向电极B ，见图5-21-2b 。

设导电微晶的厚度为δ，其电阻率为ρ，若在两电极间做半径分别为r 和dr r +的圆，则两圆之间的导电微晶的电阻为
r
dr
r dr S dr dR πδρδπρρ
22=
== 式中，S 是半径为r 、厚度为δ的圆柱面的侧面积。

那么，半径为r 的柱面到半径为0R 的
图5-21-1 均匀带电长直同轴圆柱面间的电场分布
a) 长直同轴圆柱面 b) 等位线与电场线 c) 静电场中的高斯面
外柱面的之间的电阻为
r
R r dr R 0
R r
rR 0ln 220
πδρ
πδ
ρ==⎰
（5-21-4） 通过同样的计算可以得到，半径为0r 的内圆柱面到半径为0R 的外圆柱面间的总电阻为
0ln 200r R R R r πδρ
=
（5-21-5） 因此，从内圆柱面到外圆柱面的电流为
0000)
/ln(200U r R R U I R r ρπδ==
（5-21-6） 则半径为r 的柱面的电位为
0rR r IR U =
将式（5-21-4）和式（5-21-6）代入上式，得 )
/ln()
/ln(0000r R r R U U r = （5-21-7）
比较式（5-21-3）和式（5-21-7）可知，静电场与模拟场的电位分布完全相同。

图5-21-3给出了两根长直带电直线和聚焦电极的电位分布。

注意：模拟方法的使用有一定的条件和范围，不能随意推广，否则将会得到荒谬的结论。

用稳恒电流场模拟静电场的条件可以归纳为下列三点：
（1）稳恒电流场中的电极形状应
与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同；
（2）稳恒电流场中的导电介质是不良导体且电导率分布均匀，这样才能保证电流场中的电极（良导体）的表面也近似是一个等位面；
（3）模拟所用电极系统与模拟电极系统的边界条件相同。

【实验内容】
一、描绘均匀带电长直同轴圆柱面间的电场分布
1．首先固定好记录纸，用探针紧靠外电极的内侧任取三点，在记录纸上记下这三点的位置，由这三点确定电极的机械圆心，此圆心就是等位线的中心。

圆心到这三个点之间的距离就是外电极内侧的半径0R 。

注意：本实验完成之前，记录纸的位置不得再变。

a) b)
图5-21-2 模拟电极与模拟场 a) 模拟电极 b) 模拟场
2．实验装置如图5-21-4所
示，将导电微晶的内外两电极分
别与直流稳压电源的正负极相连
接，将探针测量的正极与探针相
连。

把探针移离导电微晶纸，打
开电源，将电源调至“校正”位
置，旋转电压调节使电压表的示
值（即内外电极间电压）为V。

3．将电源调至“测量”位置，
此时电压表显示的示值就是探针与负极之间的电压值。

移动探针使电压表读数为V，按一下记录纸上的探针记下该点位置。

在V等位线上大致均匀地记录10个等位点。

4．用上述方法分别测出V、V、V、V和V各条等位线。

二、描绘两根平行长直均匀带电直线和聚焦电极的电场分布
1．调节两极之间的电压为V。

2．用与上述类似的方法测出电位分别为V、V、V、V、V的等位线。

【数据处理】
一、均匀带电长直同轴圆柱面
1．取下记录纸，量出每条等位线上的10个点离圆心O的距离，求平均半径r，填入表5-21-1中。

表5-21-1 均匀带电长直同轴圆柱面各等位线的半径
半径
电压
1
r
2
r
3
r
4
r
5
r
6
r
7
r
8
r
9
r
10
r r
V V V V V V 图5-21-4 实验装置图
图5-21-3 模拟电极的电位分布
a)平行带电直导线 b)聚焦电极
2．然后根据电场线与等位线正交原理，画出电场线，并指出电场强度方向，这样就得到一张完整的电场分布图。

3．计算不同等位线处的0ln(/)R r ，填入表5-21-2中。

在坐标纸上做出0ln(/)
r
U R r 曲线。

表5-21-2 模拟法测绘静电场数据纪录与处理表格
二、两根平行长直均匀带直线和聚焦电极
在记录纸上画出各条等位线，并根据等位线绘出电场线。

【注意事项】
1．移动探针要轻要慢，以防损坏导电微晶。

【思考题】
1．为什么静电场不能直接测绘，而要用稳恒电流场来进行模拟使用模拟法的条件是什么
2．如何从等位线和电场线的分布看出电场强度的大小和方向。