2．4平行与垂直综合问题
自测自评
1．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则(D) A．n⊥βB．n∥β或n⊂β
C．n⊥αD．n∥α或n⊂α
解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，结合图形知，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．2．若三个平面α，β，γ，之间有α∥γ，β⊥γ，则α与β(A)
A．垂直B．平行
C．相交D．以上三种可能都有
3．对于任意的直线l与平面α相交，在平面α内不可能有直线m，使m与l(A)
A．平行B．相交
C．垂直D．互为异面直线
4．给出以下四个命题，其中真命题有①②④(填序号)．
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
基础达标
1．已知平面α外不共线的三点A，B，C，且AB∥α，则正确的结论是(D)
A．平面ABC必平行于α
B．平面ABC必与α相交
C．平面ABC必不垂直于α
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
2．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A且与l，α都成30°角的直线有且只有(B)
A．1条B．2条
C．3条D．4条
解析：如图所示
与α成30°
角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°时，直线AC，AB都满足条件，故选B.
3.下列命题中，正确的是(C)
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D ．垂直于同一个平面的两个平面平行
4．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l(D )
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．垂直
5．若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为(C )
① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α ② ⎭
⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ④
⎭
⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
6．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(B )
A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β
B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β
D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β
7．如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是(C )
A ．{2}
B ．{255}
C ．{t|2≤t ≤22}
D ．{t|25
5≤t ≤2} 解析：取CC 1，C 1D 1的中点G ，H ，连接B 1G ，B 1H ，GH ，则平面B 1GH ∥平面A 1BE ，所以满足题意的点F 在GH 上移动．则B 1G 与平面CDD 1C 1所成角的正切值最小且最小值为2，设GH 的中点为M ，则B 1M 与平面CDD 1C 1所成角的正切值最大且最大值为22，故选C .
8．设l ，m ，n 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是(B )
①若l ⊥α，m ∥β，α⊥β，则l ⊥m ；
②若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α；
③若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α；
④若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则l ∥n.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：对于①，直线l ，m 可能互相平行，①不正确；对于②，直线m ，n 可能是平行直线，此时不能得知l ⊥α，②不正确；对于③，由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”得知，③正确；对于④，由l ∥m ，m ⊥α得l ⊥α，由n ⊥β，α∥β得n ⊥α，因此有l ∥n ，④正确．综上所述，其中命题正确的个数是2，故选B . 巩固提升
9．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足
为点H，则以下命题中，错误的命题是(D)
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH的延长线经过点C1
C．AH垂直平面CB1D1
D．直线AH和BB1所成角为45°
10．如右图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：
(1)AE⊥平面BCE;
(2)AE∥平面BFD.
证明：(1)因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，又AD⊥平面ABE，所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥AE，因为BC与BF相交，所以AE⊥平面BCE.
(2)连接AC交BD于G，连接FG，因为EB＝BC，所以F是EC中点，
所以AE∥FG，又AE⊄平面BFD，
所以AE∥平面BFD.
11．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的各条棱均相等，AA1⊥平面ABC，D是BC上一点，AD⊥C1D.求证：
(1)A1B∥面ADC1；
(2)面ADC1⊥面BCC1B1.
证明：(1)连接A1C交AC1于O，则O为A1C的中点，
∵B1B⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴B1B⊥AD，又∵AD⊥C1D，B1B与C1D是平面BCC1B1内的两条相交线，
∴AD⊥平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是正三角形，
∴D为BC中点，连接OD，在△A1BC中，OD∥A1B，OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1.
(2)∵AD⊥C1D，又AD⊥C1C，C1D与C1C相交，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1.
12．如下图所示，△PAD是正三角形，ABCD是正方形，E，F分别为PC，BD中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：平面PAD⊥平面PCD.
证明：(1)取PD中点G，AD中点O，连接EG，GO，OF.
∵E、F分别是PC、BD中点，
∴GE綊1
2DC，OF綊1
2AB，又∵AB綊CD，
∴GE綊OF，
∴EFOG是平行四边形，
∴EF∥GO，又EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.
(2)∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴CD⊥平面PAD.
∵CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD.
1．立体几何证明问题书写是一个难点，应该反复练习才能够熟练，必要时可做几个样题．
2．结论为垂直的命题可将a∥α视为a⊂α，α∥β视为α和β是同一个平面；判断a∥α时特别留意a是否在平面α外．。