2.1 圆的标准方程[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系.【主干自填】1．确定圆的条件(1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程(1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为□06⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.4．点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上； 若|CM |>r ，则点M 在□08圆外； 若|CM |<r ，则点M 在□09圆内．(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在□10圆上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在□11圆外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2；点M(m，n)在□12圆内⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2.【即时小测】1．思考下列问题若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？提示：圆心坐标(－a，－b)，半径：|t|.2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13提示：B设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圆心是C(2，－3)且过原点，∴a＝2，b＝－3.∴r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.3．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(1,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外提示：C∵(1－2)2＋(2－3)2＝2<4，∴点在圆内．4．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()A．π B．2π C．4π D．8π提示：C由题可知r＝2，∴S＝πr2＝4π.例1写出下列各圆的标准方程．(1)圆心在原点，半径为8；(2)圆心在(2,3)，半径为2；(3)圆心在(2，－1)且过原点．[解]设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，∴圆的方程为x2＋y2＝64.(2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.(3)∵圆心在(2，－1)且过原点，∴a＝2，b＝－1，r＝(2－0)2＋(－1－0)2＝ 5.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.类题通法求圆的标准方程的方法直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．[变式训练1]求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．解(1)由两点间距离公式，得r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229，∴半径r＝29.∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.例2已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？[解]由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝12|P1P2|＝12(3＋1)2＋(6－2)2＝2 2.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8.∵(2－1)2＋(2－4)2＝5<8，(5－1)2＋(0－4)2＝32>8，(3－1)2＋(2－4)2＝8，∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．类题通法判断点与圆位置关系的方法判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，即比较|MC|与r的关系：若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.[变式训练2]点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a<－1或a>1 D．a＝±1答案A解析∵点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得－1<a<1.例3求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．[解]解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a－b－3＝0，(5－a)2＋(2－b)2＝r2，(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝1，r＝10.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.解法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上， 线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，由⎩⎨⎧2x －y －3＝0，y ＝－12(x －4)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.即圆心C 的坐标为(2,1)． ∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.类题通法用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(1)设出圆的标准方程．(2)根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值． (3)代入标准方程，得出结果．[变式训练3] 一圆过原点O 和点P (1,3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的标准方程．解 解法一：圆心在直线y ＝x ＋2上， ∴设圆心坐标为(a ，a ＋2)，半径为r ， 则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2. ∵点O (0,0)和P (1,3)在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(0－a )2＋(0－a －2)2＝r 2，(1－a )2＋(3－a －2)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，r 2＝258.∴所求的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －742＝258.解法二：由题意，圆的弦OP 所在直线的斜率为3，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴弦OP 的垂直平分线方程为y －32＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋3y －5＝0.∵圆心在直线y ＝x ＋2上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x ＋3y －5＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝74，即圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，74.又∵圆的半径r ＝|OC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫742＝258，∴所求的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －742＝258.易错点⊳忽略圆的标准方程中隐含条件——半径大于零[典例] 已知点A (1,2)在圆C ：(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2的外部，求实数a 的取值范围．[错解] ∵点A (1,2)在圆的外部，∴(1＋a )2＋(2－a )2>2a 2，即5－2a >0，∴a <52， ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52.[错因分析] 忽略的圆的标准方程中隐藏着r 2>0.[正解] ∵点A (1,2)在圆的外部，∴(1＋a )2＋(2－a )2>2a 2，即5－2a >0，∴a <52，又2a 2>0，∴a ≠0.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52.课堂小结1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)，2答案D解析根据圆的标准方程可知圆心为(2，－3)，半径为 2.2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝2答案B解析以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.3．圆的直径端点为A(2,0)，B(2，－2)，则此圆的标准方程为________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析圆心C(2，－1)，半径r＝12(2－2)2＋(0＋2)2＝1，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．答案x2＋(y－1)2＝1解析由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.时间：25分钟1．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20答案C解析因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝(－1－0)2＋(2－0)2＝5，又圆心为C(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选C.2．经过A(－1,1)，B(2,2)，C(3，－1)三点的圆的标准方程是()A．(x＋1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝5C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝5答案D解析由已知条件可得，线段AC的垂直平分线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2，线段AB的垂直平分线方程为y－32＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x－12，这两条直线的交点坐标为M(1，0)，又由|MA|＝5，可得过三点A，B，C的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5.3．过点C(－1,1)和点D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10答案D解析 ∵圆心在x 轴上， ∴可设方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ (－1－a )2＋1＝r 2，(1－a )2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10.故方程为(x －2)2＋y 2＝10.4．设M 是圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上的点，则M 到3x ＋4y －2＝0的最小距离是( )A ．9B ．8C ．5D ．2 答案 D解析 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离 d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝|15＋12－2|5＝5，∴所求的最小距离是5－3＝2.5．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0，故圆心位于第四象限．6．已知点P (a ，a ＋1)在圆x 2＋y 2＝25的内部，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－4,3) B ．(－5,4) C ．(－5,5) D ．(－6,4) 答案 A解析 由a 2＋(a ＋1)2<25，可得2a 2＋2a －24<0，解得－4<a <3.7．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________． 答案 (x －2)2＋(y ＋3)2＝25解析 因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.8．圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4上存在相异的两点关于过点(0,1)的直线l 对称，则直线l 的方程为________．答案 x －y ＋1＝0解析 易得直线l 必过圆心(－2，－1)，故直线l 的方程是y －1＝－1－1－2－0(x －0)，即x －y ＋1＝0.9．已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解 (1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝R 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.10．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程．解 设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧ n －1m ＋3＝47，14·－3＋m 2＋8·1＋n 2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.。