线段之与最短问题一． 常见数学模型:1、如图,直线l 与l 的异侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小。
2、如图,直线l 与l 的同侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小。
lA3、 如图,直线与的异侧两点A 、B,分别在直线、上求作一点P 、Q 两点, 使AP+PQ+QB 最小。
4、 如图,直线的同侧两点A 、B,分别在直线上求作一点P 、Q 两点,且PQ=a , 使AP+PQ+QB 最小。
l 2l 15、如图,点P 就是∠MON 内的一点,分别在OM,ON 上作点A,B 使△PAB 的周长最小。
6、如图,点P,Q 为∠MON 内的两点,分别在OM,ON 上作点A,B 。
使四边形PAQB 的 周长最小。
lABal 1AN为方便归类,将这种情况称为“两点之间线段最短型”5、如图,点A 就是∠MON 外的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之与最小6、 、如图,点A 就是∠MON 内的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之与最小N为方便归类,将以上两种情况,称为“垂线段最短型”练习题1.在平面直角坐标系中,有A(3,－2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n =______时,AC + BC 的值最小.2.如图,护城河在CC ’处直角拐弯,宽度保持为4米,从A 处往B 处,经过两座桥:DD ’,EE ’,设护城河就是东西——南北方向的,A,B 在东西方向上相距64米,南北方向上相距84米,如何设计两座桥梁DD ’,EE ’的位置,使由A 地经过两座桥梁后到B 地的路程最短？最短路程就是多少？3.如图∠AOB = 45°,P 就是∠AOB 内一点,PO = 10,Q 、P分别就是OA 、OB 上的动点,求△PQR周长的最小值.4.如图,在△ABC 中,AC ＝BC ＝2,∠ACB ＝90°,D 就是BC 边的中点,E 就是AB 边上一动点,则EC ＋EDNNBECBA的最小值为_______。
5.如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD,ED ⊥BD,连接AC 、EC 。
已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x 、 (1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长;(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律与结论,请构图求出代数式x 2+4 +(12-x)2+9 的最小值6.桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高为12厘米,底面周长18厘米,在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖,一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时,突然发现了蜜糖。
问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
7.著名的恩施大峡谷()A 与世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路x 同侧,50km AB A ，、B 到直线x 的距离分别为10km 与40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.如果拟建的恩施到张家界高速公路y 与沪渝高速公路垂直,建立如图所示的直角坐标系,B 到直线y 的距离为30km ,请您在x 旁与y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.8.如图,在锐角△ABC 中,AB = 42,∠BAC ＝45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D,M 、N 分别就是AD 与AB 上的动点,则BM+MN 的最小值就是____.9.如图,△ABC 中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC 、AB 上各取一点M 、N,使BM+MN 的值最小,则这个最小值10.如图,四边形ABCD 就是正方形,△ABE 就是等边三角形,M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN,连接EN 、AM 、CM⑴ 求证:△AMB ≌△ENB;⑵ ①当M 点在何处时,AM ＋CM 的值最小;②当M 点在何处时,AM ＋BM ＋CM 的值最小,并说明理由;⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为 3 + 1 时,求正方形的边长、A'ABBAyxBAO30°AB CM D CBA ENBAM参考答案1.在平面直角坐标系中,有A(3,－2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n =______时,AC + BC的值最小.x即就是在直线AB 上作一点E,使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C',连接DC'交AB 于点E,则线段DC'的长就就是EC+ED 的最小值。
在直角△DBC'中DB=1,BC=2,根据勾股定理可得,DC'= 55.如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD,ED ⊥BD,连接AC 、EC 。
已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x 、(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长;(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小? (3)根据(2)中的规律与结论,请构图求出代数式x 2+4 +(12-x)2+9 的最小值(1)AC = (8-x)2 + 25 ,CE = x 2 + 1 则AC+CE = (8-x)2 + 25 + x 2 + 1 (2)A 、C 、E 三点共线时AC+CE 最小连接AE,交BD 于点C,则AE 就就是AC+CE 的最小值 最小值就是10(3)如右图,AE 的长就就是这个代数式的最小值 在直角△AEF 中,AF = 5 EF = 12 根据勾股定理 AE = 13(3).求代数式x 2 + 1 + (4-x)2 + 4 (0≤x ≤4)的最小值 如右图,AE 的长就就是这个代数式的最小值在直角△AEF 中 AF = 3 EF = 4则AE = 5所以,这个代数式的最小值就是5 6.桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高为12厘米,底面周长18厘米,在杯口内壁离杯口3厘米的A 处32x12-xCF B A 51x8-xFB D E C21x4-xB AC有一滴蜜糖,一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时,突然发现了蜜糖。
问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
析:展开图如图所示,作A 点关于杯口的对称点A ’。
则BA ’=92 + 122 =15厘米7.著名的恩施大峡谷()A 与世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,50km AB A ，、B 到直线X 的距离分别为10km 与40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.如果拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ,请您在X 旁与Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 分别作点A 、B 关于x 轴、y 轴的对称点A',B',连接A'B',交x 轴、y 轴于点P 、Q,则四边形PABQ 的周长最小 构造如图在Rt △A'B'C 中,B'C = 30+30+40 = 100, A'C = 10 +40 =50所以A'B' = 1002 + 502 =50 58.如图,在锐角△ABC 中,AB = 42,∠BAC ＝45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D,M 、N 分别就是AD 与AB 上的动点,则BM+MN 的最小值就是____.作点B 关于AD 的对称点B',过点B'作B'E ⊥AB 于点E,交AD 于点F,则线段B'E 的长就就是BM ＋ＭＮ的最小值 在等腰Rt △AEB'中,根据勾股定理得到,B'E = 49.如图,△ABC 中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC 、AB 上各取一点M 、N,使BM+MN 的值最小,则这个最小值作关于AC 的AB 对称线段AB',过点B'作B'N ⊥垂足为N,AB,交AC 于点M,则B'N = MB'+MN = MB+MNB'N 的长就就是MB+MN 的最小值则∠B'AN = 2∠BAC= 60°,AB' = AB = 2,∠ANB'= 90°,∠B' = 30°。
所以AN = 1 在直角△AB'N 中,根据勾股定理B'N = 310.如图,四边形ABCD 就是正方形,△ABE 就是等边三角形,M 为对角线BD(不含B 点)上任xB A NA意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM⑴求证:△AMB≌△ENB;⑵①当M点在何处时,AM＋CM的值最小;②当M点在何处时,AM＋BM＋CM的值最小,并说明理由;⑶当AM＋BM＋CM的最小值为 3 + 1 时,求正方形的边长、(2)①连接AC,交BD于点M,则AM+CM的值最小②连接CE交BD于点M,则AM+BM+CM的值最小∵AM=EN,BM=NM, ∴AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根据“两点之间,线段最短”,可知EN+NM+MC=EC最短(3)过点E作CB的延长线的垂线,垂足为F设正方形ABCD的边长为2x则在直角△BEF中,∠EBF=30°,所以,EF=x,根据勾股定理:BF= 3x 在直角△CEF中,根据勾股定理: CE2 = EF2 + FC2得方程: ( 3 + 1)2 = x2 + ( 3x +2x)2解得:x =22所以:2x = 2FEE。