一个十分重要得函数得图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式”一节课中已经隐含了函数得图象、性质与重要得应用,就是高考要求范围内得一个重要得基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校得同学而言,我们务必要系统介绍学习（ab ≠０）得图象、性质与应用。

２．1 定理:函数（ab ≠0）表示得图象就是以y=ａx 与x=0(y 轴）得直线为渐近线得双曲线。

首先，我们根据渐近线得意义可以理解：a ｘ得值与得值比较,当很大很大得时候， 得值几乎可以忽略不计,起决定作用得就是ａｘ得值;当得值很小很小,几乎为０得时候，ax 得值几乎可以忽略不计，起决定作用得就是得值．从而，函数(ab ≠0)表示得图象就是以ｙ=ａx 与x=０（y 轴）得直线为渐近线得曲线．另外我们可以发现这个函数就是奇函数,它得图象应该关于原点成中心对称．
由于函数形式比较抽象,系数都就是字母，因此要证明曲线就是双曲线就是很麻烦得，我们通过一个例题来说明这一结论．
例1.若函数就是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b,半焦距c ，渐近线及其焦点,并验证双曲线得定义。

分析：画图，曲线如右所示;由此可知它得渐近线应
该就是与x ＝0
平分线y=x （－,—3)； 就是30º，
ｃ==4, ∴ 象就是双曲线,可；
3232(21+==
-x x
PF PF
所以，函数表示得曲线就是双曲线．
（在许多地方,老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”,其实很不准确得．）
2。

２五种表现形式
表现 1：函数 （a ＞0，ｂ〉0)得双曲线大概图象如下：
渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与
上函数分别就是单调递增得,在与上函数分别就是单调递减得;在ｘ=处有极大值,在x=处有极小
值；值域就是．
表现 2：函数 （a ＜０,b 〈０）得双曲
线大概图象如下：
渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与上
表现1图
函数分别就是单调递减得,在与上函数分别就是单调递增得；在x＝处有极小值,在x=处有极大值；值域就是.
表现3：函数(a＞０，b<0）得双曲线大概图Array象如右：
此时,渐近线含双曲线部分得夹角就是钝角,∵〉0，所
以,函数在与上函数分别就是单调递增得,每一个单调
区间上得值域都就是R．
表现4：函数（a<０，b>0）得双曲线图象如右：
此时，渐近线含双曲线部分得夹角就是钝角,∵〈0，
所以，函数在与上函数分别就是单调递减得,每一个单调
区间上得值域就是R．
特别，后面两个函数得单调性很“单纯”，在解题时
候要引起重视,在高考中也多次应用,注意总结.
表现5：函数(x≠0) 就是等轴双曲线，以ｘ
轴、y轴为渐近线,在两个区间与上函数分别就是单调递
减得．这个学生在初中就应该掌握了得函数
2、３应用举例与重点推广
就是利用得它在某个区间上得单调性来求函数得值域，或
比较大小,或求最值等。

例2.已知x>ｙ〉0 ，xｙ=1 ，求得最小值及此时x、y得值
解:∵x＞y＞0,∴x—ｙ〉0,又xｙ=１，
∴=；
解混合式得:
所以当: 时候,取得最小值为.
例3。

求y＝（x≥0)
解：令ｘ+2=t 则 x=t—2 代入得由 x≥０得t≥2,而在上就是减函数得，所以ｙ≤—5，值域为
例１1.已知
(1)若a〉０，求得单调区间
（２）若当时，恒有<0，求实数a得取值范围
解:=
当〉０时,得单调递增区间为,单调递减区间为.
（２)（ｉ）当时,显然＜0成立,此时，
（ｉｉ）当时,由<0,可得＜〈，
令
则＞0，∴在要求区间内就是单调递增,可知
〈0，∴在要求区间内就是单调递减，可知
此时得范围就是(—1,3）
综合ｉ、ｉi得:得范围就是(-１，３）
从上面几个例子可以瞧出，形如或(m≠0，ａ≠0）函数值域不但可以用二次方程得△判别式来求，也可以用这个双曲线函数得单调性来求,尤其对于自变量不就是自然得定义域，而就是某个限制得范围时候,更要利用这个函数得单调性来解决了．
重点推广:到此我们来瞧瞧函数(ad≠ｂc，ａ≠０)究竟就是什么样得图象与性质呢？
它可以通过变形化为,继续化为,因此,函数(ad≠bｃ,a≠0)得图象就是可以从得图象通过
平移而来得,从而（aｄ≠bc，a≠0）得图象也就是等轴双
同得单调性,〉0时都就是单调递减，＜0时都就是单调递
增．这个函数与函数（a＞0，b〉0）要与一次函数、二
次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，
作为高三复习时候得基本函数，要熟练理解与应用，.
例4。

已知正项数列满足a1=a （0〈a〈1）且ａn+1≤,
求证
分析：本题有别得证法，这里就用数学归纳法结合上
面函数得单调性思想来处理；
ｉ）n＝1时a1=a，符合求证结论
ｉi设n=k时结论成立
则n=k+１时候，a k+1≤，而,因此,考虑函数f(x)＝＝１- 在区间与区间都就是递增函数,（0，1)，所以f(x)＝在0,１)也就是递增函数，从而，ａk+１≤,所以n＝k+1时，不等式也成立。

综上所述，对任意n就是正得自然数都成立．
这样，（ad≠bc，a≠0）得图象也就是等轴双曲线,渐近线就是,得两条直线,在与两个区
间上都具有相同得单调性得应用要得到巩固，它就是函数（ab≠0)得图象、性质得知识系
统得重要组成部分．。