高考专题突破一 高考中的不等式问题【考点自测】1.若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.a ＋c ≥b －c B.(a －b )c 2≥0 C.ac >bc D.c 2a －b>0 答案 B解析 A 项，当c <0时，不等式a ＋c ≥b －c 不一定成立；C 项，当c ＝0时，ac ＝bc ；D 项，c ＝0时，c 2a －b ＝0；B 项，由a >b 可得a －b >0， 因为c 2≥0，所以(a －b )c 2≥0. 故选B.2.若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 (－∞，22－3]解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]. 3.若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x ≤1，x －2y ≥0，则|x |＋|y |的取值范围是________.答案 [0,2]解析 |x |＋|y |表示可行域内一点到x ，y 轴的距离之和，作出不等式组表示的可行域，由可行域可知在点(0,0)处取得最小值0，在点(1，－1)处取得最大值2，所以|x |＋|y |∈[0,2]. 4.若关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －2|＋|a ＋1|＝0有实根，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎣⎡⎦⎤－32，52 解析 由方程x 2＋4x ＋|a －2|＋|a ＋1|＝0有实根，可得Δ＝42－4×1×(|a －2|＋|a ＋1|)≥0，整理得|a －2|＋|a ＋1|≤4.∵|a －2|＋|a ＋1|代表数轴上的点a 到2和－1两点的距离和，故由|a －2|＋|a ＋1|≤4得a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，52.题型一 含参数不等式的解法例1 解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a ∈R ). 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，知此时原不等式的解集为R .思维升华 解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.跟踪训练1 (1)若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________. 答案 3解析 由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根. ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)解析 依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞). 题型二 线性规划问题例2 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0， 则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________.答案 21解析 方法一 作出不等式组表示的平面区域.如图中阴影部分(含边界)所示.z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，则几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 的坐标为(7,9)，显然，点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.方法二 由图可知，阴影区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题.显然，当直线经过点B 时，目标函数取得最大值，z max ＝21.思维升华 对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，准确列出线性约束条件，然后寻求最优解，最后回到实际问题.跟踪训练2 (1)(2017·浙江“超级全能生”联考)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，2x －y －1≤0，则2|x ＋1|＋y 的最大值为( ) A.143 B.193 C.4 D.1答案 B解析 可行域为如图所示阴影部分，即△ABC 及其内部，其中A (－2,0)，B ⎝⎛⎭⎫43，53，C (0，－1)，因此当x ≥－1时，z ＝2x ＋2＋y 过点B 时取最大值193；当x ＜－1时，z ＝－2x －2＋y 过点A 时取最大值2. 综上，2|x ＋1|＋y 的最大值是193. 故选B.(2)(2017·杭州调研)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元. 答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮，则z ＝10 000x ＋5 000y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋y≤10，18x＋15y≤66，x≥0，y≥0，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知，在D(2,2)处z有最大值，且z max＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元).题型三基本不等式的应用例3 (1)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是() A.3 B.2C.4D.5答案 A解析设扇形的半径为r，其弧长为l，由题意可得S＝12lr＝9，故lr＝18.扇形的周长C＝2r＋l≥22rl＝22×18＝12，当且仅当2r＝l，即r＝3，l＝6时取等号.(2)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，则⎝⎛⎭⎫a2＋1ab－2·c＋2c－1的最小值为______.答案4＋2 2解析∵a2＋1ab＝a2＋(a＋b)2ab＝2a2＋2ab＋b2ab＝2ab＋ba＋2≥2 2ab·ba＋2＝22＋2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a b ＝b a ，a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1≥22c ＋2c －1＝22(c －1)＋2c －1＋2 2≥222(c －1)·2c －1＋22＝4＋22，当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋22时，等号成立.综上，所求最小值为4＋2 2.思维升华 (1)应用型问题解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型.(2)应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义. 跟踪训练3 (1)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A.4B.4 3C.9D.16答案 D解析 由32＋x ＋32＋y＝1可得xy ＝8＋x ＋y .∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0， 解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m 2；材料工程费在建造第一层时为400元/m 2，以后每增加一层费用增加40元/m 2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层. 答案 10解析 设应把楼房设计成x 层，每层有面积y m 2，则平均每平方米建筑面积的成本费为 k ＝2 000y ＋y ×400＋y ×440＋…＋y ×[400＋40(x －1)]xy＝2 000x ＋20x ＋380≥2 2 000x ·20x ＋380＝780，当且仅当2 000x＝20x ，即x ＝10时取等号，故应把楼房设计成10层. 题型四 绝对值不等式例4 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|－2. (1)解不等式|g (x )|＜5；(2)若y ∈{y |y ＝f (x )－2}是y ∈{y |y ＝|g (x )|}的充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)由|g (x )|＝||x －1|－2|＜5得， －3＜|x －1|＜7，∴|x －1|＜7，解得－6＜x ＜8. ∴原不等式的解集为{x |－6＜x ＜8}.(2)∵y ∈{y |y ＝f (x )－2}是y ∈{y |y ＝|g (x )|}的充分条件， ∴{y |y ＝f (x )－2}⊆{y |y ＝|g (x )|}，又f (x )－2＝|2x －a |＋|2x ＋3|－2≥|a ＋3|－2， g (x )＝||x －1|－2|≥0，∴|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5.思维升华 (1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等.(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求取值.跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c ，若存在正实数m ，使f (m )＝0，则不等式f (x )<f (m )的解集是________. 答案 (－m ，m )解析 由|－x －5|＋|－x ＋3|＋|－x －3|＋|－x ＋5|＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|可知，函数f (x )为偶函数，当－3≤x ≤3时，f (x )取最小值16－c .结合题意可得c ≥16.由f (m )＝0得f (x )<0，即|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c <0，结合图象(图略)可知，解集为(－m ，m ).(2)不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 答案 (－∞，3]解析 当x ∈(－∞，－1]时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x －x －1＝1－2x ≥3；当x ∈(－1,2)时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3； 当x ∈[2，＋∞)时，|x －2|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≥3， 综上可得|x －2|＋|x ＋1|≥3，∴a ≤3.1.解关于x 的不等式x 2－(2＋m )x ＋2m <0. 解 原不等式可化为(x －2)(x －m )<0.①当m >2时，不等式(x －2)(x －m )<0的解集为 {x |2<x <m }；②当m <2时，不等式(x －2)(x －m )<0的解集为 {x |m <x <2}；③当m ＝2时，不等式(x －2)(x －m )<0的解集为∅. 综上所述：当m >2时，不等式的解集为{x |2<x <m }； 当m <2时，不等式的解集为{x |m <x <2}； 当m ＝2时，不等式的解集为∅.2.已知函数f (x )＝x 2－6x ＋9＋x 2＋8x ＋16. (1)求f (x )≥f (4)的解集；(2)设函数g (x )＝k (x －3)，k ∈R ，若f (x )>g (x )对任意的x ∈R 都成立，求k 的取值范围. 解 (1)f (x )＝x 2－6x ＋9＋x 2＋8x ＋16＝(x －3)2＋(x ＋4)2＝|x －3|＋|x ＋4|，∵f (x )≥f (4)，即|x －3|＋|x ＋4|≥9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－4，3－x －x －4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <3，3－x ＋x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，x－3＋x＋4≥9，解得x≤－5或x≥4，∴f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤－5或x≥4}.(2)f(x)>g(x)，即f(x)＝|x－3|＋|x＋4|的图象恒在g(x)＝k(x－3)图象的上方，又∵f(x)＝|x－3|＋|x＋4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x－1，x≤－4，7，－4<x<3，2x＋1，x≥3，g(x)＝k(x－3)的图象恒过定点P(3,0)，作函数y1＝f(x)，y2＝g(x)的图象如图，其中k PB＝2，A(－4,7)，∴k P A＝－1，由图可知，要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，则需－1<k≤2，∴实数k的取值范围为(－1,2].3.(2017·浙江省绍兴第一中学期末)设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪x－52＋|x－a|，x∈R.(1)求证：当a＝－12时，不等式ln f(x)>1成立；(2)已知关于x的不等式f(x)≤a在R上有解，求实数a的取值范围.(1)证明由f(x)＝⎪⎪⎪⎪x－52＋⎪⎪⎪⎪x＋12＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x＋2，x<－12，3，－12≤x≤52，2x－2，x>52，得函数f(x)的最小值为3，从而f(x)≥3＞e，所以ln f(x)>1成立.(2)解 由绝对值不等式的性质得 f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －52－(x －a ) ＝⎪⎪⎪⎪a －52， 所以f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎪52－a ，从而⎪⎪⎪⎪52－a ≤a ， 解得a ≥54，因此a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫54，＋∞.4.已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y .(1)求1x ＋1y的最小值； (2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由.解 (1)由题意可知1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy＝2， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立.所以1x ＋1y的最小值为2. (2)不存在.理由：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )，又x ，y ∈(0，＋∞)，所以0＜x ＋y ≤2，从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4， 因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.5.(2016·浙江)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围；(2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a ).解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a ).所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2,2a ].(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以由F (x )的定义知m (a )＝min {}f (1)，g (a )，即m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2. ②当0≤x ＜2时，F (x )＝f (x )，此时M (a )＝f (0)＝2. 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )，此时M (a )＝max{g (2)， g (6)}＝max{2,34－8a }，当a ≥4时，34－8a ≤2；当3≤a <4时，34－8a >2， 所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.6.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R ).(1)当m ＝－1时，求不等式f (x )≤2的解集；(2)设关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围.解 (1)当m ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|2x －1|， 由f (x )≤2得|x －1|＋|2x －1|≤2，上述不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤12，1－x ＋1－2x ≤2 或⎩⎪⎨⎪⎧ 12＜x ＜1，1－x ＋2x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋2x －1≤2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤12，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ 12＜x ＜1，x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ≤43， ∴0≤x ≤12或12＜x ＜1或1≤x ≤43， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤43. (2)∵f (x )≤|2x ＋1|的解集包含⎣⎡⎦⎤34，2，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立，∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2，∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立，∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0， 即实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－114，0.。