Butterworth 和Chebyshev 低通滤波器
方法：1) 根据性能参数，先设计一个模拟滤波器，按照一定的算法转换为满足预定指标的数字滤波器。

利用模拟原型滤波器的逼近算法和特性。

2）计算机辅助设计，从统计概念出发，对所要提取的有用信号从时域进行估计，在统计指标最优的意义下，使得估计值最优逼近有用信号，减弱或消除噪声。

Butterworth 低通滤波器
1
幅频特性：|()|a H j Ω=，其中N 为滤波器的阶数，c Ω为通带截止频率。

1)在Ω=0处，有最大值|(0)|1a H =；2）在通带截止频率c Ω=Ω处，不同阶次的幅频量值都相同，即为|()|0.707|(0)|a a H j H Ω=；3）阶数N 增加时，通带幅频特性变平，阻带衰减更快，逐渐趋近于理想滤波器的幅频特性。

幅频特性通常用衰减函数1020log |()/(0)|a a H j H α=-Ω描述。

分贝（dB ）
2 极点一共有2N 个，并且以圆点为对称中心成对的出现。

21()22k j N k c s e ππ-+=Ω k=1,2,…,N 系统函数：122()()()()
N a c N K H s K s s s s s s ==Ω--- … 3 通带衰减函数p α、阻带衰减函数s α　和系统幅频特性20log |()|a H j -Ω的关系： 10p 20log |()|a p H j α-Ω≤Ω≤Ω p Ω为通带截止频率
10s 20log |()|a s H j α-Ω≥Ω≥Ω s Ω为阻带截止频率
4 阶数N 0.10.11010log [(101)/(101)]2log (/)
p s p s N αα----≥ΩΩ 5 通带截止频率c Ω 0.10.11/21/2(101)
(101)p s p
s c N N αα--ΩΩΩ==-- 确定了滤波器的阶数N 和通带截止频率c Ω，就可以求出系统的极点，从而求出系统函数()a H s ，这样就完成了Butterworth 低通滤波器的设计。

通常这是在给定技术指标,,,p s p s ααΩΩ的前提下进行的。

例题： 设计一个Butterworth 低通滤波器，要求频率小于20rad/s 范围内幅频响应衰减不大
于2dB ，频率大于30rad/s 的幅频响应的衰减不小于10dB 。

解：该滤波器的技术指标为：p Ω=20rad/s, p α=2dB, s Ω=30rad/s, s α=10dB
代入阶数N 的计算公式可得：0.120.1101010log [(101)/(101)]2log (20/30)
N -⨯-⨯--≥=3.371 取满足以上条件的最小整数N=4。

Chebyshev 低通滤波器
Chebyshev 滤波器最主要的特点是引入了Chebyshev 多项式。

这是其特殊幅频特性的数学基础。

1 Chebyshev 多项式：11cos(cos )||1()()||1N N C ch Nch --⎧⎫ΩΩ≤⎪⎪Ω=⎨⎬ΩΩ>⎪⎪⎩⎭
，Ω为信号的模拟角频率。

由此多项式可以得出如下特性：
1）||1Ω≤时，()N C Ω在-1和1之间波动；
2）Ω=1时，()N C Ω=1；
3）Ω=0时，若N 为奇数，则()N C Ω=0；若N 为偶数，则()N C Ω等于1或-1；
4）||1Ω>时，()N C Ω随Ω单调增大，N 越大，()N C Ω得增幅越大。

2
幅频特性：|()|a H j Ω= 3 系统函数：1()()a N
k k K
H s s s ==-∏=()
K D s 4 极点分布：2N 个极点k k k s j σ=+Ω成对分布在椭圆
22112211111((),())k k a sh sh b ch ch a b N N σεε
--Ω+=== 的圆周上。

12111sin()()2k k sh sh N N πσε--= ， 12111cos()()2k k ch ch N N πε
--Ω= 21/2(0)/(1)K D ε=+
5
通带波动函数：1020log 1/δ=-6
波纹系数：ε=
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阶数：s c N ≥ 例题：设计一个Chebyshev 低通滤波器，技术指标为：通带波动δ=1dB ，截止频率0.2c πΩ=，阻带衰减函数16s dB α=，阻带边界频率为0.3s πΩ=。

解：对频率进行归一化处理 0.3/ 1.5s c πΩ=Ω=
波纹系数
0.5088ε==，代入N 的求解公式，求得
3.321s c N ≥= 取N=4。