实变函数练习及答案一、选择题1、以下集合，（ ）是不可数集合。

.A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合；.C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。

2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则EA 是（ ）.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。

3、下列说法正确的是（ ）.A ()f x 在[,]a b L —可积⇔()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积⇔()f x 在[,]a b R —可积；.C ()f x 在[,]a b L —可积⇔()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积⇒()f x 在[,]a b L —可积4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ⊆⊆⊆则有（ ） .A 1()lim n n n n m E mE ∞→∞=>； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==；.C 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==； .D 以上都不对。

5、()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是（ ）.A A B ⊂； .B B A ⊂； .C A C ⊂； .D C A ⊂。

6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ）.A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。

7、设mE <+∞，(){}nf x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}nf x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）.A 必要条件； .B 充分条件； .C 充分必要条件； .D 无关条件。

8、设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）.A ()f x 是E 上的连续函数； .B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数； .C ()f x 是E 上的简单函数； .D ()f x 可表示为一列简单函数的极限。

c二、填空题： 1、设n E R ⊂，0n x R ∈，如果0x 的任何邻域中都含有E 的 点，则称0x 是E 的聚点。

2、设n E R ⊂，若E 是有界 点集，则E 至少有一个聚点。

3、设()f x 是E 上的可测函数，0mA =，则()f x 是EA 上的 函数。

4、设在E 上，(){}nf x 依测度收敛于()f x ，则存在(){}nf x 的子列(){}kn f x ，使得在E 上，(){}kn f x 敛于()f x 。

5、设设1[1,2],(1,2,...)n A n n=+=,则lim n n A →∞=________________。

6设P 是Cantor 集，[0,1]\G P =，则mG =___________。

7、写出一个(0,1)与(,)-∞+∞之间一一对应关系式___________________ 。

8.设()2,,xe xf x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩是有理数是无理数，则()[]01()L f x dx =⎰， 。

9、设E 是[0,1][0,1]⨯中有理数全体，则E 的闭包E 为_____________。

10、直线上的任意非空开集可以表示成___________________________________的并集。

三、判断题。

1、2R 与3R 的势是不等的。

……………………( )2、设mE <+∞，{()}n f x 为E 上一列.a e 有限的可测函数，若在E 上{()}n f x .a e 收敛于.a e有限的可测函数()f x ，则{()}n f x 在E 上依测度收敛于()f x 。

…………( ) 3、若{()},1,lim ()(),P pn n n f x L p f x f x L →∞⊂≥=∈则lim 0n pn f f→∞-=。

……………( )4、设()f x 在(0,)+∞上R 可积,则()f x 在(0,)+∞上必L 可积。

………………( )5、若P 不是E 的聚点，则P 是E 的孤立点。

……………………………………( )6、设0mE =，则对E 上的任何实值函数()f x 都有()0Ef x dx =⎰。

………………( )7、设f 在q E R ⊂上可测，则由f 在E 上可积可以推出f 在E 上可积，但反之不对。

…( )8、若{}n f 为E 上非负单调可测函数列，且lim ()()n n f x f x →∞=，则lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰。

…( )四、计算题与证明题 1、证明：若A B ⊃，B B C ，则A A C 。

2、设()f x 是1R 上的实值连续函数，a 是任意给定的实数，证明(){}G x f x a=>是开集。

3、设1E ，2E 都是可测集，试证：()()121212mE mE m E E m E E +=+。

4、设在可测集E 上，()()n f x f x μ−−→，且()()1.n n f x f x a e +≤于()1,2,E n =，试证明：()()lim ..n n f x f x a e →∞=于E .5、设()()n f x f x μ−−→,()()n f x g x μ−−→,则)()(x g x f =在E 上几乎处处成立.6、叙述并且证明鲁津定理的逆定理.7、计算2201lim (1)nn nx dx x ∞→∞++⎰。

8、若111,,0,,r p q r p q>=+且有关函数的积分存在，证明：r pq fg f g ≤。

答案一．选择题1．B 2．C 3．A 4. B 5.D 6.A 7.B 8.D 二．填空题1.无穷多个2.无穷3.可测4.几乎处处收敛5. [1,2]6.17.y ctg x π=8.13 9.[0,1][0,1]⨯ 10.有限个或可列个构成区间 三、判断题1．× 2. √ 3. × 4. × 5. ×6.√ 7、× 8.× 四、证明与计算1.证明：根据集合的性质有：()()\A A B C ABC =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()\A C A B C B C =⎡⎤⎣⎦并且集合()\A B C 与()A BC ，()\A B C 与B C 是不相交的。

由于B A ⊂，因此()B ABC B C ⊂⊂⎡⎤⎣⎦，由题设BB C 可知()AB C B C ，于是A A C 。

2、设/0x A ∈，则存在A 中的互异点列{}n x ，使得0n x x →，因()f x 连续，所以()()0lim n n f x f x →∞=，而(),1,2,n f x a n ≤=，由极限的保号性，()0f x a ≤，因此0x A ∈，故A 是闭集。

由于GA =，故G 是开集。

3、证明：由于1E ，2E 都是可测集，根据可测集的性质，12E E 和12E E 都是可测集。

如果1mE 和2mE 中至少有一个为+∞，则结论显然成立。

设1mE <+∞，2mE <+∞。

根据集合的性质可知()()()1211221212\\E E E E E E E E E E =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦而且上式右端三个集合是两两不相交的可测集，因此根据测度的有限可加性有()()()()()()()()1211221212112212121212\\m E E m E E E m E E E m E E mE m E E mE m E E m E E mE mE m E E =++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+-+=+-所以()()121212mE mE m E E m E E +=+成立。

4、证明：因()()n f x f x ⇒，则由黎斯定理，存在子列(){}kn f x ，使得()()lim ...kn k f x f x a e →∞=于E 。

令()()()011k n n n n E E f x f x E f x ∞+=⎧⎫=>→⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭()f x ⎡⎤⎣⎦，则00mE =。

对任意00\x E E ∈，有()()010n n f x f x +≤，且()()00lim n k f x f x →∞=。

由于(){}0nf x 是增加数列，故()()()0lim lim knn n k f x f x f x →∞→∞==，因此在0\E E 上恒有()()lim n n f x f x →∞=成立，故()()lim ..n n f x f x a e →∞=于E .5、.证明: 由于)()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤,故对任何自然数n ,}1|:|{n g f E x ≥-∈⊂}21|:|{n f f E x k ≥-∈ }21|:|{ng f E x k ≥-∈,从而})1|:|({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21|:|({ng f E x m k ≥-∈+令∞→k,即得 })1|:|({n g f E x m ≥-∈0=.但是}:{g f E x ≠∈}1|:|{1ng f E x n ≥-∈=∞=故0}):({=≠∈g f E x m , 即)()(x g x f = a.e.于E.6．叙述：设()f x 是E 上a.e.有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且(),m E F δδ-<证明：()f x 是E 上的可测函数。

证明：,n N ∀∈∃闭集,n F E ⊂1(),()2n n m E F f x -<在n F 连续。

令1,n k n k F F ∞∞===则,()n n kx F k x F f x ∞=∀∈⇒∃∈⇒在x 连续()f x ⇒在F 连续，又对,()(())(())n n n kn kk m E F m E F m E F ∞∞==∀-≤-=-1()2n k n km E F ∞=≤∑-<， 故()0m E F -=，()f x 在F E ⊂连续，又()0m E F -=，所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上的可测函数。

7．解：令221()(1)n nnx f x x +=+，易见 若01x <≤，则221()11n nx f x n x +≤≤+ 若1x >，则2221224().(1)(1)(1)n n n n nx n n f x x x n x x -+≤=≤≤++- 令2101()41x g x xx -≤≤⎧=⎨<<∞⎩则在[)0∞，上()()n f x g x ≤，由1()g x dx <∞⎰与1()g x dx ∞<∞⎰知()g x 在R +是可积函数，于是由控制收敛定理得：0lim ()lim ()0n n n n f x dx f x dx ∞∞→∞→∞==⎰⎰。