④计算力得功,若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上得功,若用微分形式得动能定理，则计算力得元功。
⑤应用动能定理建立系统得受力与运动间得关系。
(3)在理想约束、主动力又为势力得情况下,可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
（4）对于多自由度系统,如两个自由度系统,动能定理只给出一个方程,必须与其她定理,如动量定理或动量矩定理联合应用,才能得到另外一个方程。
ﻩ,
系统得动能
ﻩ
主动力得元功
根据动能定理建立得方程为
所以
“—”号说明当取正值时为负,即反时针方向。
(3)本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。
3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m,半径为r,沿倾斜角为得三角块作无滑动滚动,质量为Ｍ得三角块置于光滑得水平面上。列写该系统得运动微分方程。
对于图(ｂ），建立刚体得水平运动微分方程为
ﻩﻩ(1)
对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内得运动微分方程为
ﻩﻩ(2）
ﻩ（3)
ﻩ（4)
其中xC、yC及x均就是对固定坐标系得坐标，同时考虑到微小运动得假说,于就是有
ﻩﻩ（5)
ﻩ(6)
由方程(1）、（２)消去未知力,ＦOx并考虑式(5）得
ﻩ(７)
又由方程(2)、(3）与(4)消去未知力FOy、FＯx，并考虑式（5)与(６),得
（2)本题也可用机械能守恒定律求解。
系统得动能ﻩ
选半圆柱体中心O1所在平面为零势面,系统得势能
ﻩ
由ﻩ
ﻩ
两边对时间求导数,即可得到与式①相同得运动微分方程。
３-3均质杆AＢ，长ｌ，质量为m,沿光滑墙面滑下,如题３-3图所示。设水平面也为光滑得。列写该系统得运动微分方程。
题3－3图
解:系统具有一个自由度,选为广义坐标。系统在任一位置得动能为
3－５题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为ｍ,刚性建筑得质量为M,对质心C得转动惯量为ＩC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1得扭转弹簧。其她参数如图示。设地基有水平运动z(t),试建立系统微幅运动微分方程。图中。
解:应用牛顿矢量力学建立刚体运动得微分方程时,首先要画出每个刚体得受力图,如题3－5图（b)、(c)所示。
上述方程包含,,,,五个未知量,必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间得关系
，
所以
ﻩ
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立,消去未知约束力,,就可以得到与式①相同得系统运动微分方程。
因为在理想约束得情况下，未知约束力在动能定理得表达式中并不出现,所以用动能定理解决已知力求运动得问题更简便、直接。
ﻩﻩ(8)
方程（７)与（８)为系统微幅运动微分方程,若令ｘ与为确定系统位置得广义坐标,写为矩阵形式
那么，方程(7)与(8）改写为矩阵形式如下:
ﻩ（9）
由此例题可以瞧出,应用牛顿矢量力学建立系统得运动微分方程,一定要画受力图,于就是必然要涉及未知约束力,因此较为繁琐,特别就是该例中得组合刚体系统更就是如此。然而对于多自由度系统,应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
另解:由动静法得，以整体为研究对象
以Ｍ为研究对象：
又忽略高阶小量,所以以上两式化简后得:
化成矩阵形式为:
ﻩ
３－６题３－6图所示两端简支得均匀梁,已知弯曲刚度为EI，单位长度得质量为ｍ,分布载荷为F(ｙ，ｔ)。试用哈密顿原理求运动方程。
解：若梁得挠曲函数为w(y，t),则动能为
(a）
应变(势能)为
(b）
题3-４图
解:系统具有两个自由度,选为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向得外力为零,所以系统机械能守恒：
，水平方向动量守恒。
整理后可分别列写两个方程
ﻩﻩ①
ﻩﻩ②
式中①②为系统微分方程得首次积分，对时间求导后，即可得到系统运动微分方程。
要点及讨论ห้องสมุดไป่ตู้
(1)在理想约束得情况下，动能定理建立了系统得动能与主动力之间得关系,直接给出了系统得速度(或角速度)与位移(或角位移）之间得关系，对时间求导一次可得到系统得运动微分方程。
解:系统具有一个自由度,选为广义坐标。
半圆柱体在任意位置得动能为:
ﻩ
用瞬心法求:
ﻩ
ﻩﻩ
故ﻩ
系统具有理想约束,重力得元功为
ﻩ
应用动能定理得微分形式
ﻩ
等式两边同除,
,等式两边同除
故微分方程为
ﻩ①
若为小摆动,,并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化,系统微摆动得微分方程为
要点及讨论
(1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统得受力图与运动分析图如图(b)所示。列写微分方程
外力功为（c)
将式(ａ)、式(b)与式（c)代入变分式
（ｄ)
得到
（e)
对式（e）进行分部积分运算，得到
（ｆ)
由于,时,哈密顿原理要求ｗ= 0,因而式(f)变为
ﻩﻩ（f)
因为,t1与ｔ2区间得虚位移w不可能为零,由此，得到梁得边界条件
习
3-1复摆重P,对质心得回转半径为，质心距转动轴得距离为a，复摆由水平位置无初速地释放,列写复摆得运动微分方程。
解：系统具有一个自由度,选复摆转角为广义坐标,原点及正方向如如题4－1图所示。
复摆在任意位置下,根据刚体绕定轴转动微分方程
ﻩ
其中ﻩ
得到复摆运动微分方程为
ﻩﻩ
或ﻩ
3－2均质半圆柱体,质心为Ｃ,与圆心O1得距离为e,柱体半径为R,质量为ｍ，对质心得回转半径为,在固定平面上作无滑动滚动,如题３-2图所示,列写该系统得运动微分方程。
由瞬心法求质心得速度
,，
所以
系统得主动力图为图(ａ)所示。重力得元功为
由动能定理ﻩ
所以
ﻩﻩ
系统得运动微分方程为
ﻩ
要点及讨论
(1)平面运动刚体可用式计算刚体动能,式中为刚体对瞬心得转动惯量，为质心与瞬心间得距离。
在本题中质心得速度也可用式计算。其中
(2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移)、坐标原点、坐标正方向。广义坐标得选择一般不就是唯一得,例如在本题中也可选杆与水平线得夹角为广义坐标，正方向如图(b)所示(顺时针),广义坐标选定后其它运动量(位移及位移得一阶、二阶导数)都根据广义坐标确定(包括大小与正方向)。如质心C得位移与速度，正方向应如图所示,大小分别为
(2)用动能定理建立系统运动微分方程得步骤为：
①分析系统受力,在理想约束得情况下只有主动力作功,所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标,确定其原点与正方向;分析系统运动,重点就是分析速度(角速度)，将速度（角速度)用广义速度表示。
③计算系统在任意位置得动能，将动能表示为广义坐标、广义速度得函数。