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第3章 振动系统的运动微分方程题解

④计算力得功,若用积分形式动能定理,则计算主动力在有限路程上得功,若用微分形式得动能定理,则计算力得元功。
⑤应用动能定理建立系统得受力与运动间得关系。
(3)在理想约束、主动力又为势力得情况下,可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
(4)对于多自由度系统,如两个自由度系统,动能定理只给出一个方程,必须与其她定理,如动量定理或动量矩定理联合应用,才能得到另外一个方程。
ﻩ,
系统得动能

主动力得元功
根据动能定理建立得方程为
所以
“—”号说明当取正值时为负,即反时针方向。
(3)本题也可用平面运动微分方程求解,读者试列出方程。
3-4如题3-4图所示,均质圆柱体质量为m,半径为r,沿倾斜角为得三角块作无滑动滚动,质量为M得三角块置于光滑得水平面上。列写该系统得运动微分方程。
对于图(b),建立刚体得水平运动微分方程为
ﻩﻩ(1)
对于图(c):建立刚体在铅垂平面内得运动微分方程为
ﻩﻩ(2)
ﻩ(3)
ﻩ(4)
其中xC、yC及x均就是对固定坐标系得坐标,同时考虑到微小运动得假说,于就是有
ﻩﻩ(5)
ﻩ(6)
由方程(1)、(2)消去未知力,FOx并考虑式(5)得
ﻩ(7)
又由方程(2)、(3)与(4)消去未知力FOy、FOx,并考虑式(5)与(6),得
(2)本题也可用机械能守恒定律求解。
系统得动能ﻩ
选半圆柱体中心O1所在平面为零势面,系统得势能

由ﻩ

两边对时间求导数,即可得到与式①相同得运动微分方程。
3-3均质杆AB,长l,质量为m,沿光滑墙面滑下,如题3-3图所示。设水平面也为光滑得。列写该系统得运动微分方程。
题3-3图
解:系统具有一个自由度,选为广义坐标。系统在任一位置得动能为
3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m,刚性建筑得质量为M,对质心C得转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1得扭转弹簧。其她参数如图示。设地基有水平运动z(t),试建立系统微幅运动微分方程。图中。
解:应用牛顿矢量力学建立刚体运动得微分方程时,首先要画出每个刚体得受力图,如题3-5图(b)、(c)所示。
上述方程包含,,,,五个未知量,必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间得关系

所以

运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立,消去未知约束力,,就可以得到与式①相同得系统运动微分方程。
因为在理想约束得情况下,未知约束力在动能定理得表达式中并不出现,所以用动能定理解决已知力求运动得问题更简便、直接。
ﻩﻩ(8)
方程(7)与(8)为系统微幅运动微分方程,若令x与为确定系统位置得广义坐标,写为矩阵形式
那么,方程(7)与(8)改写为矩阵形式如下:
ﻩ(9)
由此例题可以瞧出,应用牛顿矢量力学建立系统得运动微分方程,一定要画受力图,于就是必然要涉及未知约束力,因此较为繁琐,特别就是该例中得组合刚体系统更就是如此。然而对于多自由度系统,应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
另解:由动静法得,以整体为研究对象
以M为研究对象:
又忽略高阶小量,所以以上两式化简后得:
化成矩阵形式为:

3-6题3-6图所示两端简支得均匀梁,已知弯曲刚度为EI,单位长度得质量为m,分布载荷为F(y,t)。试用哈密顿原理求运动方程。
解:若梁得挠曲函数为w(y,t),则动能为
(a)
应变(势能)为
(b)
题3-4图
解:系统具有两个自由度,选为广义坐标。系统具有理想约束,且在水平方向得外力为零,所以系统机械能守恒:
,水平方向动量守恒。
整理后可分别列写两个方程
ﻩﻩ①
ﻩﻩ②
式中①②为系统微分方程得首次积分,对时间求导后,即可得到系统运动微分方程。
要点及讨论ห้องสมุดไป่ตู้
(1)在理想约束得情况下,动能定理建立了系统得动能与主动力之间得关系,直接给出了系统得速度(或角速度)与位移(或角位移)之间得关系,对时间求导一次可得到系统得运动微分方程。
解:系统具有一个自由度,选为广义坐标。
半圆柱体在任意位置得动能为:

用瞬心法求:

ﻩﻩ
故ﻩ
系统具有理想约束,重力得元功为

应用动能定理得微分形式

等式两边同除,
,等式两边同除
故微分方程为
ﻩ①
若为小摆动,,并略去二阶以上微量,上述非线性微分方程可线性化,系统微摆动得微分方程为
要点及讨论
(1)本题也可以用平面运动微分方程求解。系统得受力图与运动分析图如图(b)所示。列写微分方程
外力功为(c)
将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式
(d)
得到
(e)
对式(e)进行分部积分运算,得到
(f)
由于,时,哈密顿原理要求w= 0,因而式(f)变为
ﻩﻩ(f)
因为,t1与t2区间得虚位移w不可能为零,由此,得到梁得边界条件

3-1复摆重P,对质心得回转半径为,质心距转动轴得距离为a,复摆由水平位置无初速地释放,列写复摆得运动微分方程。
解:系统具有一个自由度,选复摆转角为广义坐标,原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下,根据刚体绕定轴转动微分方程

其中ﻩ
得到复摆运动微分方程为
ﻩﻩ
或ﻩ
3-2均质半圆柱体,质心为C,与圆心O1得距离为e,柱体半径为R,质量为m,对质心得回转半径为,在固定平面上作无滑动滚动,如题3-2图所示,列写该系统得运动微分方程。
由瞬心法求质心得速度
,,
所以
系统得主动力图为图(a)所示。重力得元功为
由动能定理ﻩ
所以
ﻩﻩ
系统得运动微分方程为

要点及讨论
(1)平面运动刚体可用式计算刚体动能,式中为刚体对瞬心得转动惯量,为质心与瞬心间得距离。
在本题中质心得速度也可用式计算。其中
(2)所谓广义坐标应包含坐标值(线位移或角位移)、坐标原点、坐标正方向。广义坐标得选择一般不就是唯一得,例如在本题中也可选杆与水平线得夹角为广义坐标,正方向如图(b)所示(顺时针),广义坐标选定后其它运动量(位移及位移得一阶、二阶导数)都根据广义坐标确定(包括大小与正方向)。如质心C得位移与速度,正方向应如图所示,大小分别为
(2)用动能定理建立系统运动微分方程得步骤为:
①分析系统受力,在理想约束得情况下只有主动力作功,所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标,确定其原点与正方向;分析系统运动,重点就是分析速度(角速度),将速度(角速度)用广义速度表示。
③计算系统在任意位置得动能,将动能表示为广义坐标、广义速度得函数。
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