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航空航天中的计算方法
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6.4 最佳配点分布 Legendre-Gauss-Lobatto：
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6.5 微分矩阵与两点边值问题求解 6.5 微分矩阵与两点边值问题求解 6.5.1 微分矩阵的概念
伪谱法将微分方程近似解用Lagrange插值表示：
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6.1 谱方法及伪谱法的概念 6.1 谱方法及伪谱法的概念 以N+1个全局基函数的加权和近似某一连续函数：
( x ) kk ( x ) y( x ) y
k 0 N
k ( x ) e ikx
Fourier谱方法
其中：k ( x) 为多项式或三角函数。 残差函数： R( x; 0 , 1 , , N ) 例，二阶微分方程求解 y( x ) f ( x, y( x ), y( x )) ( x) f ( x, y ( x), y ( x)) R( x) y 残差为 某种准则下使残差最小，确定系数。
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授课教师：陈琪锋 中南大学航空航天学院
第二部分 边值问题求解方法
第6章 微分方程求解的伪谱法
பைடு நூலகம்
内容提要 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 谱方法及伪谱法的概念 谱方法与Lagrange插值 正交多项式 最优配点分布 微分矩阵与两点边值问题求解
[1] John P. Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Methods (Second Edition), DOVER Publications, Inc., 2000.Chap.1,3-6 [2] Shen, J., and Tang, T., Spectral and High-Order Methods with Applications（谱方法和高精度算法及其应用）, Science Press, Beijing, 2006, Chap.（1.1-1.3；2.1,2.4）.
x0 1, x N 1,
(a , b) ( 1,1)
( x ) (1 i N 1) xi zeros of LN
i
2 1 (0 i N ) 2 N ( N 1) [ LN ( xi )]
Legendre-Gauss-Lobatto点没有显式表达式，需数值求解
p1 ( x ) x 1

0 p1 , p0 ( x ) xdx 1 ( x )dx
a a b b
pn1 ( x ) ( x n1 ) pn ( x ) n 1 pn 1 ( x ), n 1
(a , b) ( 1,1) 时，得到Legendre多项式 Ln ( x) 当 ( x ) 1 ， (a , b) ( 1,1) 时，得到Chebyshev多项 当 ( x ) (1 x 2 ) ， 式 Tn ( x )
Chebyshev多项式 Tn ( x ) ：
T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x , T2 ( x ) 2 x 2 1 Tn 1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x ), n 1
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6.3 正交多项式 正交多项式曲线图：
i 0 N
N
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6.2 谱方法与Lagrange插值 6.2.2 Runge现象 对任意光滑函数f(x)，根据均匀分布的N+1个插值点的函
数值，构造N次Lagrange插值近似，误差随N增大趋于0？ 例： 1 插值点随均匀分布时， f ( x) , x 5, 5 1 x2 误差随点数增多不收敛

与任何不高于n次的多项式正交。
若多项式序列 pn ( x )n 0 是正交的，则多项式 pn1 ( x ) 的零点是互不相同的实数，且位于开区间 (a , b) 内。

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6.3 正交多项式 6.3.2 正交多项式的生成 根据正交多项式的定义（首一情况为例） p0 ( x ) 1
谱方法应用具有高阶次的全局基函数在整个计算域上
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6.1 谱方法及伪谱法的概念 伪谱方法精度高、收敛快、存贮省，适用于问题的几何 特征平滑和规则时 伪谱法的问题： 如何选择最优的基函数？
如何选择最优的配点？
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Ln ( x )
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Tn ( x )
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6.4 最佳配点分布 6.4 最佳配点分布 6.4.1 Gauss求积与Lagrange插值
将积分表示为被积函数在若干点处的函数值加权和：

1 1
f ( x )dx i f ( xi )
i 0
N
若适当选取 i 和 xi ，可使公式对次数≤ 2N+1的多项式被积 函数均精确成立，节点 xi ( i 0,1, , N ) 称为高斯点。 等价于将函数 f 用Lagrange插值近似为插值多项式，然后求 积分。若选用Gauss点插值，能实现最高精度。 最佳配点（插值点）为Gauss点
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谱方法
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6.1 谱方法及伪谱法的概念
在与未知量个数相对的特定点处令残差为零：配点法
R( i ) 0, i 1, 2, , N a 1 2 N b
采用最佳配点的谱方法，即伪谱法。 加权残差为零：加权残差法
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6.3 正交多项式 任意n次多项式q(x)均可表示为正交多项式 p0 , p1 , , pn 的线性加权和： q( x ) bn pn bn 1 pn 1 b0 p0 若多项式序列 pn ( x )n 0 是正交的，则多项式 pn1 ( x )
两端点附近的误差大
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端点附近插值点增多，中间可减少
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6.3 正交多项式 6.3 正交多项式 6.3.1 函数正交性与正交多项式
函数f(x)与g(x) 在加权Sobolev空间 L (a , b) 上正交，是指
f , g : f , g ( x ) f ( x ) g( x )dx 0
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6.4 最佳配点分布 Gauss-Radau求积点 q( x ) p N 1 ( x ) p N ( x ) 定义： q( a ) 0 若采用 x0 a，以及多项式 q( x ) ( x a )的零点 x1 , x2 , , x N 作 为求积点，称为Gauss-Radau求积点。 由方程组： a pk ( x ) ( x )dx i pk ( xi ), 0 k N
Gauss-Lobatto求积点包括端点a和b，适用于两点边值问题
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6.4 最佳配点分布 6.4.3 常用正交多项式的Gauss点 Chebyshev多项式的Gauss点
( x ) (1 x 2 )

1 2
(a , b) ( 1,1)
Chebyshev-Gauss-Lobatto：
i 0
其中，插值基函数：
Ci ( x )
k 0, k i

N
x xk xi xk
C i ( x j ) ij
任意N次多项式
PN ( x ) ii ( x )
i 0
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等价
Lagrange插值形式
PN ( x ) PN ( xi )C i ( x )
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6.4 最佳配点分布 6.4.2 几类Gauss点 Gauss求积点
对于带权函数的Gauss求积：
b

b
a
f ( x ) ( x )dx i f ( xi )
i 0
N
其中Gauss点为 xi 正交多项式 pn1 的零点。
由方程组：
由方程组：

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b
a
pk ( x ) ( x )dx i pk ( xi ), 0 k N
i 0 N
N
可唯一解出 i ( i 0,1, , N )，并且
b a
q( x ) ( x )dx i q( xi ),
i 0
for all
q P2 N 1
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6.2 谱方法与Lagrange插值 6.2 谱方法与Lagrange插值 6.2.1 Lagrange插值
对函数f(x)，根据N+1个插值点的函数值，构造N次插值 N 多项式近似： PN ( x ) f ( xi )C i ( x ) PN ( xi ) f ( xi )

b
a
w i ( x ) R( x )dx 0,
i 1, 2, , N ,
wi ( x ) 为权函数
Galerkin法：wi ( x ) i ( x ) 。
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6.1 谱方法及伪谱法的概念 谱方法、有限单元法、有限差分法的区别： 有限单元法将区间分成一些子区间，在子区间选择局部 多项式基函数 有限差分是局部计算