第8章 数列与无穷级数（一） 数列 1． 数列极限的定义若ε∀>0，∃正整数N ，使得当N n >时成立n a L -<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极限，或称数列}{n a 收敛于L ，记为La n n =∞→lim 。

否则称数列}{n a 发散。

2． 数列极限的运算法则 若()1lim L a n n =∞→，2lim L b n n =∞→，c 是常数，则()1lim cL ca n n =∞→；()21lim L L b a n n n ±=±∞→；()21lim L L b a n n n =∞→；()0,lim221≠=∞→L L L b a n n n 。

3．数列极限的性质(1)若La n x =∞→lim >0则正整数∃N ，当N n >时成立n a >0；Lb a N n N n n n =≥>∃∞→lim ,0且时成立，当正整数若，则0≥L 。

(2) 收敛数列是有界数列。

4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）:Lb Lc a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>∃∞→∞→∞→lim ,lim lim ,则且时成立，当正整数若（2）单调有界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。

5． 数列极限与函数极限的联系对于数列{}na，若存在定义域包含[)∞，1的函数()x f，使()n f n a=，且()Lxfx=+∞→lim，且Lann=∞→lim。

6．数列与数列的关系（1）若Lann=∞→lim，{}kna是{}n a的一个子数列，则Laknk=∞→lim。

（2）若Laakkkk==+∞→∞→122limlim，则Lann=∞→lim。

（二）无穷级数的基本概念1．级数敛散性的定义称∑==nkknus1为级数∑∞=1nnu的前n项部分和() ,2,1=n，而称数列{}ns为级数∑∞=1nnu的部分和数列。

若级数∑∞=1nnu的部分和数列{}ns收敛，即ssnn=∞→lim，则称级数∑∞=1nnu收敛，称s为该级数的和，记为sunn=∑∞=1，同时称∑∞+==-=1nkknnussr为级数∑∞=1nnu的余和。

若级数∑∞=1nnu的部分和数列{}ns发散，则称级数∑∞=1nnu发散。

2．级数的基本性质（１）若sunn=∑∞=1，c是常数，则cscunn=∑∞=1。

（2）若∑∞=1nnu=s，σ=∑∞=1nnv，则()σ+=+∑∞=svunnn1。

（3）若∑∞=1nnu收敛，则∑∞+=1mnnu也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。

（4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。

（5）级数收敛的必要条件：若∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u 。

（三）数项级数 1．正项级数（1）正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是其部分和数列{}n s 有界。

（2）正项级数的比较判别法及其极限形式设(),2,10=≤≤n v u n n ，（１）若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛；（２）若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv发散。

设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均是正项级数，若()+∞<<=∞→l l v u n nn 0lim ，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 具有相同的敛散性。

（3）正项级数的积分判别法对于正项级数∑∞=1n u，若存在单调减少的连续函数()x f ，使得()n u n f =，则级数∑∞=1n nu 与广义积分()dxx f ⎰+∞1具有相同的敛散性。

（4）正项级数比值判别法的极限形式设∑n u 为正项级数，且ρ=+∞→n n n u u 1lim, 则（a ）ρ<1时，级数∑n u 收敛；（b ）当ρ>1（包含+∞=ρ）时，级数∑n u 收敛； （c ）当1=ρ时，本判别法失效。

（5）正项级数根值判别法的极限形式设∑nu为正项级数，且ρ=∞→n n n u lim , 则（a ）当ρ<1时，级数∑n u 收敛；(b) 当ρ>1（包含+∞=ρ）时，级数∑n u 发散； ( c) 当1=ρ时，本判别法失效。

2．交错级数的莱布尼兹判别法若正数列｛n u ｝单调减少，且0lim =∞→n n u , 则交错级数∑∞=+-11)1(n nn u （及∑∞=-1)1(n nnu ）收敛，且余和1+≤n n u r 。

3. 绝对收敛与条件收敛若∑n u 收敛，则称∑n u 绝对收敛；若∑n u 发散，而∑n u 收敛，则称∑n u 条件收敛。

绝对收敛级数∑n u 必收敛。

绝对收敛级数的任一更序级数仍绝对收敛于原级数的和。

（四）幂级数1．幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）阿贝尔定理若幂级数∑∞=0n nnxa在某点0x x =(≠0)处收敛，则∑∞=0n nnx a在区间（00,x x -）内的任一点处均绝对收敛；若幂级数nn nxa∑∞=0在某点1x x =处发散，则nn nx a∑∞=0在满足1x x >的任一点x 处均发散。

（2）收敛半径的定义若幂级数∑∞=0n nnx a不是仅在点x=0处收敛，也不是在（∞+∞-，）内的任一点处均收敛，则存在正数r ，使当r x <时，∑∞=0n nnxa收敛；而当r x >时，∑∞=0n nnx a发散，称此正数r 称为幂级数∑∞=0n nnxa的收敛半径。

当∑∞=0n nnx a仅在点x =0处收敛时，定义收敛半径r =0; 当∑∞=0n nnx a在（∞+∞-，）上都收敛时，定义收敛半径r =+∞。

(3) 收敛半径的计算设幂级数∑∞=0n nn x a 满足n a 0≠,N n >（这里的N 是某个正整数）,且L a a nn n =+∞→1lim，则（a ）当L>0时，r =L 1;(b) 当L=0时，r = +∞; (c) 当L= +∞时，r =0。

（４）收敛区间与收敛域当幂级数∑∞=0n nnxa的收敛半径r>0时，称（r r +-，）是它的收敛区间；当判定∑∞=0n nnx a在x =r ±处的敛散性后，可确定其收敛域。

2．幂级数的运算 （1）代数运算设)(10x s x an n n=∑∞=，收敛域为2I ，收敛半径1r >０，)(20x s x bn n n=∑∞=，收敛域2I ，收敛半径2r >０，则a) =±∑∞=nn n nx b a)(0±∑∞=nn nx ann nx b∑∞=0＝)()(21x s x s ±，收敛域为21I I ⋂；b) )0(n x n n a ∑∞==∑∞=)0(n x n nb nk n k nk n x b a )(0-=∞=∑∑＝)()(21x s x s ，收敛半径),m in(21r r r = （这里两个幂级数的乘积是柯西乘积）。

（2）、分析运算设)(0x s n x cn n=∑∞=，收敛域I ，收敛半径0>r ，则a) 和函数)(x s 在I 上连续；b) 和函数)(x s 在),(r r -内可导且可逐项求导：∑∑∞=-∞===11)'()('n n n n nn x nc x c x s )(r x r <<-；ｃ）和函数)(x s 在),(r r -内可积，且可逐项积分：⎰xdxx s 0)(=⎰∑∞=x n nn dxx c 0=101+∞=∑+n n n x n c ，)(r x r <<-；3． 幂级数的展开 （1）函数的泰勒级数设函数f(x)在点x 0的某个邻域内有任意阶导数，则称幂级数n n n x x n x f)(!)(000)(-∑∞== +-+))((')(000x x x f x f +!)(0)(n x f n nx x )(0-+…为f(x)在点x 0的泰勒级数。

而称n n n xn f∑∞=0)(!)0(= ++x f f )0(')0(+!)0()(n f n n x +…为f(x)的麦克劳林级数（0x =0时的泰勒级数）。

（2）函数的幂级数展开（间接展开法）利用五个初等函数的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的代数运算，分析运算， 变量代换等手段，求给定函数的幂级数展开式。

复习指导：第8章 数列与无穷级数（一）、数列计算数列的极限，通常可利用代数恒等变形、数列极限的运算法则和利用函数极限的方法。

这里必须注意的是：由于数列是定义域为离散点集的函数，故不能直接使用洛必达法则，如需使用此法则，必须先化成具有连续变量的函数，再利用函数极限计算数列极限。

假定数列由递推公式)(1-=n n a f a 定义，则一般可考虑利用数列的单调有界收敛定理。

如果数列的通项是由n 个项的和构成，通常可考虑利用夹逼定理或定积分的定义，也可以考虑先将和求出来，再求极限。

（二）、无穷级数的基本概念 1、级数敛散性的定义每个级数∑∞=1n nu涉及到两个数列：一是由其项构成的数列｛u n ｝，二是由其部分和构成的数列｛s n｝。

级数∑∞=1n nu的敛散性是用｛s n ｝的敛散性定义的。

一般，即使级数∑∞=1n nu收敛，要求其和也是很困难的。

但只要级数∑∞=1n nu收敛，我们就可以用部分和近似表示它的和，其误差为n r 。

故我们首先关心的是判断级数的敛散性。

２、级数的基本性质（１）、在级数的每一项上同乘以一不为零的常数，级数的敛散性不变。

（２）、收敛级数可以逐项相加。

而且，若∑∞=1n nu收敛，∑∞=1n nv发散，则必有∑∞=+1)(n n nv u发散。

（３）、在级数的前面添上或去掉有限项，不影响级数的敛散性。

（４）、收敛级数可以加括弧，即满足加法的结合律。

若加括弧后的级数发散，则原级数发散。

（５）、nn u ∞→lim ＝０是级数∑nu 收敛的必要条件，但不是充分条件。

因此由nn u ∞→lim ≠０可推得级数∑n u 发散。

若需证明数列{ n a }收敛于零，也可考虑以下方法：证明级数∑n a 收敛，再利用级数收敛的必要条件得{ n a }收敛于零。

（三）、数项级数 １、正项级数（１）、首先得注意多种正项级数判敛法使用的前提，就是必须是正项级数。

（２）、一般，对于通项含有阶乘、指数函数、幂指函数等因式的正项级数，可优先考虑利用比值判别法；对于通项含有指数函数、幂指函数等因式，但不含阶乘因式的正项级数，可考虑利用根值判别法；以n 的幂（整数幂或分数幂）有理式为通项的正项级数，因为n ∞→时，通项关于无穷小n 1的阶数易观察而得，应优先考虑与p 级数比较，（利用比较判别法或其极限形式）。