泰勒公式的证明及其应用数学与应用数学专业胡心愿[摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。

本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述.[关键词]泰勒公式；不等式；应用；Proof of Taylor's Formula and Its ApplicationMathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application.Key words:Taylor's Formula;inequality;application目录1 泰勒公式 (1)1.1 泰勒定理的证明过程 (1)2 余项估计 (2)2.1 泰勒中值定理 (2)2.2 拉格朗日余项 (3)2.3 柯西余项 (6)2.4 积分余项 (7)3 泰勒公式的应用 (9)3.1 利用泰勒公式证明不等式 (9)3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用 (9)3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用 (10)3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限 (11)3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点 (12)3.4 判断级数的敛散性 (14)3.5 利用泰勒公式求行列式的值 (15)4 多元函数的泰勒公式 (16)4.1 二元函数泰勒公式的证明 (17)4.2 二元函数泰勒公式的应用 (18)结束语 (19)参考文献 (19)致谢 (20)泰勒公式是数学分析的一个重要内容，它将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，分析比较它的各种证明方法和归纳其各种应用是本文的主要内容.关于泰勒公式的证明主要是讨论泰勒余项.1 泰勒定理若函数()x f 在0x 处存在n 阶导数，则()0x U x ∈∀，有()()()[]nn x x x T x f 0-+=ο ()1其中()()()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T 00200000!!2-++-''+-'+= ， ()()[]nn x x x R 0-=ο()0x x →，即()x R n 是比()nx x 0-的高阶无穷小.()1式称为()x f 在0x（展开）的泰勒公式.1.1 泰勒定理的证明过程由高阶无穷小的定义知，若要证明()[]nn x x x R 0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ο，只需要证明 ()()()()()0limlim000=-T -=-→→nn x x nn x x x x x x f x x x R因为这是0的待定型，可以应用1-n 次的洛必达法则来证明.()()()=T -=x x f x R n n()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-''+-'+-n n x x n x f x x x f x x x f x f x f 00200000!!2!1 ()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-''+'-'='-100000!1!1n n nx x n x f x x x f x f x f x R ()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-'''+''-''=''-⎪⎭⎫ ⎝⎛200000!2!1n n n x x n x f x x x f x f x f x R ()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=---⎪⎭⎫⎝⎛-0010111!1x x x f x f x f x R n n n n n因为当0x x →时，()x R n ，⎪⎭⎫ ⎝⎛'x R n ， ，()()x R n n 1-以及()k x x 0-（+N ∈k ）都是无穷小,所以由洛必达法则，有()()()()=--''=-'=--⎪⎭⎫ ⎝⎛→-⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎭⎫ ⎝⎛→201001limlimlimn nx x n nx x nx x x x n n x R x x n x R x x x R n ()()()01!lim 0x x n x Rn nx x -=-→， 将()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=---⎪⎭⎫⎝⎛-0010111!1x x x f x f x f x R n n n n n 带入上式得()()()()()()()()()()()()[]0!1!1lim lim000011000=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=---→→x f x f n x f x x x f x f n x x x R n n n n n x x nn x x ， 因此，可以得到()[]nn x x x R 0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ο . 2 余项估计泰勒定理中给出的余项()[]nn x x x R 0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ο称为佩亚诺余项.佩亚诺余项()[]nx x 0-ο只是给出来余项的定性描述，它不能估算余项⎪⎭⎫ ⎝⎛x R n 的数值.还需要进一步的进行定量描述.2.1 泰勒中值定理泰勒中值定理[1]若函数()x f 在()0x U 内存在1+n 阶导数，()0x U x∈∀，函数()t G 在以x 与0x 为端点的闭区间I 连续，在其开区间可导，且()0≠'t G ，则x 与0x 之间至少存在一点ξ，使()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f ()()()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x x n x f n n nn --'+-++0100!! 其中()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x R n n n --'=+01!. 证明 ()x f 的泰勒多项式()()()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x x x f x f x 00200000!!2-++-''+-'+=T . 我们记()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f t F -++-''+-'+=!!22,则 ()()()()()()()()() +-'''+-''--''+'-'='2!2t x t f t x t f t x t f t f t f t F()()()()()()()()()()n n nn n n t x n t f t x n t f t x n t f -=-+---++-!!!1111. 可以看出函数()t F 与()t G 在闭区间I 连续，在其开区间可导，()0≠'t G ， 且可以看出()()x f x F =.应用柯西中值定理有：x 与0x 之间至少存在一点ξ，使 ()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x x n x fn n nn --'+-++0100!!, 其中()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x R n n n --'=+01!. 2.2 拉格朗日余项若函数f 在()0x U 内为存在1+n 阶的连续导数，则()0x U x∈∀有()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00200000!!2 ()2()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ 称为拉格朗日余项，其中ξ在x 与0x 之间，称()2式为()x f 在0x 的带拉格朗日余项的泰勒公式. 当00=x 时，()2式变成()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002 ,()()()()11!1+++=n n n x n f x R ξ,其中ξ在0与x 之间，称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.拉格朗日余项有四种常见的证明方法. (1)利用泰勒中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 因为()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x x n x f n n nn --'+-++0100!! 其中()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x R n n n --'=+01!. 函数()t G 在以x 与0x 为端点的闭区间I 连续，在其开区间可导，且()0≠'t G .取()()1+-=n t x t G ，满足定理要求，有()()()01≠-+-='nt x n t G ，()()()100,0+-==n x x x G x G ,将它们代入()x R n 之中，有()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ在x 与0x 之间. （2）利用柯西中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 首先记()()()()()∑=-+=nk kk t x k t f t f t F 1!，且()()()()n n t x n t f t F -='+!1. 建立辅助函数()10+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=n x x t x t λ且()()1,00==x x λλ，可得()()()()101+--+-='n nx x t x n t λ. 在区间[]0,x x （不妨设0x x <）运用柯西中值定理得()()()()()()()()()x F x F x x x F x F F x x -=--=''∈∃0000,,λλξλξξ. 将()()ξλξ'',F 代入上式可得()()()()()()()()()x f x F x x x n x n f n nn n ---+-=-++01011!ξξξ, 其中()0x F 即为()x f 在0x 处的n 次泰勒多项式，记为()x T n .故得()()()()()()101!1++-++=n n n x x n f x T x f ξ. (3)利用罗尔定理证明根据罗尔定理我们有如下的证明方法. 对于给定的x ，0x ，不妨设0x x <，并设()()()()()()()()()()H x x x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n 1000200000!!2+-+-++-''+-'+= 并做辅助函数()()()()()() +-''+-'+=2!2u x u f u x u f u f u F ()()()()H u x u x n u f n n n 1!+-+-+. 因为()x f 在()0x U 内具有直到1+n 阶连续导数，故()u F 在[]x x ,0上连续可导，且()()()x f x F x F ==0.由罗尔定理得()x x ,0∈∃ξ，使()0='ξF ，即()()()()()01!1=-+--+H x n f n x nn nξξξ，由此解得()()()()x x n f H n ,,!101∈+=+ξξ，亦即 ()()()()()()x x x x n fx R n n n ,,!10101∈-+=++ξξ.(4)利用积分余项推导根据已知的积分余项我们可以有如下的证明方法.我们已知积分型余项()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11.由于()()t f n 1+连续，()nt x -在[]x x ,0（或[]0,x x ）上同号,由积分中值定理得()()()()()()()()1011!11!10+++-+=-=⎰n n x x n n n x x f n dt t x fn x R ξξ. 比较分析证明拉格朗日余项的四种方法，可以看出都是利用中值定理（泰勒中值定理、柯西中值定理、罗尔定理、积分中值定理）来进行证明的.前三种的关键都是找到合适的辅助函数，而第四种方法是应用已知道积分余项来推导，主要是依据了推广的积分中值定理.2.3 柯西余项若函数()x f 在()0x U 内存在1+n 阶的连续导数，则()0x U x∈∀有()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00200000!!2 ()3()()()()()01!x x x n f x R n n n --=+ξξ，其中ξ在x 与0x 之间，称()3式为()x f 在0x 带柯西余项的泰勒公式.当00=x 时，()3式变成()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002 ，()()()()111!++-=n n n n x n x f x R θθ，其中10<<θ，称此式为带柯西余项的麦克劳林公式. 柯西余项有两种常见的证明方法. (1) 利用泰勒中值定理证明根据泰勒中值定理我们有如下的证明方法.做辅助函数()t x t G -=，它满足泰勒中值定理的要求，有()()()00,0,01x x x G x G t G -==≠-='将他们代入()x R n ，有()()()()()01!x x x n f x R n n n --=+ξξ，ξ在x 与0x 之间. （2） 利用柯西中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 记()()()()()∑=-+=nk kk t x k t f t f t F 1!，且()()()()n n t x n t f t F -='+!1. 做辅助函数()0x x tx t --=λ，且()()()001,0,1x x t x x --='==λλλ,()()t F t ,λ在区间[]0,x x （不妨设0x x <）运用柯西中值定理()()()()()()()()()x F x F x x x F x F F x x -=--=''∈∃0000,,λλξλξξ.把()()ξλξ'',F 代入上式可得()()()()()()x f x F x x x n f n n ---=-+0011!ξξ 其中()0x F 为()x f 在0x 处的n 次泰勒多项式，记为()x T n .故有()()()()()()01!x x x n f x T x f n n n --+=+ξξ 比较分析柯西余项的两种证明方法，容易得知证明方法大致与拉格朗日余项的前两种证明方法类似，依据的是柯西中值定理和泰勒中值定理，关键依然是找到合适的辅助函数.2.4 积分余项若函数()x f 在()0x U 内存在1+n 阶的连续导数，则()0x U x∈∀有()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00200000!!2 ()4()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11称()4式为()x f 在0x 带积分余项的泰勒公式. 积分型余项有两种常见的证明方法.(1)利用莱布尼茨公式证明根据莱布尼茨公式我们有如下的证明方法.我们有 ()()()()()⎰⎰'-'-='=-x x x x t t x t f t t f x f x f 0d d 0()()()()()()()()()⎰⎰'-''--'=-''+-'-=x x xx xx tt x t f x x x f tt x t f t x t f 0d 21d 200()()()()()()()()()()()()()⎰⎰'-'''⋅--''+-'=-'''+-''--'=x x x x x x t t x t f x x x f x x x f tt x t f t x t f x x x f 00d 32121d 21213200002200()()()()++-''+-'==2000021x x x f x x x f()()()x R x x f n n nn +-⋅0321 ，由上式可得到()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11（2）利用分部积分法证明根据分部积分法我们有如下的证明方法.因为()x f 在()0x U 内具有直到1+n 阶连续导数 ，令()()()()[]x x t t f t v t x t u n,,,0∈=-=（或[]0,x x t ∈）.由分部积分法有()()()()()()()()()()()()[]xxn nn nn xx t v t ut vt u t v t u t t vt u 01d 11-++'-=-+⎰()()()()t t v t u xx n n d 1011⎰++-+，所以()()()()()()()()()[()]()⎰⎰⋅+++-+-=---+xx x xn n n n xxn n tt f t f n t f t x n t f t x t t f t x 0d 0!d 111()()()()()()()()x R n x x n x f x x x f x f n x f n n n n !!!1!!00000=⎥⎦⎤-++⎢⎣⎡-'+-=()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11.证明积分型余项的两种方法一种是运用牛顿-莱布尼茨公式，一种是利用推广的分部积分的方法，都是浅显易懂的.3 泰勒公式的应用泰勒公式在近似计算中有着独特的优势，故而有着较为广泛的应用. 在应用中常见的泰勒展式如下，()12!1!!21+++++++=n x n xx n e n x x x e θ ()10<<θ,()()()221253!121!5!3sin ++++-+-+-=n n nx n x x x x x ο ,()()()113211321ln ++++-+-+-=+n n n x n xx x x x ο ,()n n x x x x xο+++++=- 2111. 3.1 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式的关键在于确定在哪一点0x 将函数展开将函数展到第几项为止.3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用例1 设()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0>''x f ，证明()()()()2d b f a f a b x x f ba+-<⎰.分析因为不等式右边出现了()a f 与()b f ，可以联想到在a x =0，b x =0分别展开由已知条件的()0>''x f ，可以猜想到展开到第二项即可，带拉格朗日余项. 证明 对[]b a x ,0∈∀，()x f 在0x 处的泰勒公式为 ()()()()()()20002x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 其中ξ在0x 与x 之间. 因为()0>''ξf ,所以()()()()x x x f x f x f -+>00,将a x =0,b x =0分别带入得()()()()x a x f x f a f -'+>,()()()()x b x f x f b f -'+>.将两式相加可得,()()()()()()x f x x f b a x f b f a f '-'++>+22. 再对上式两天同时在[]b a ,求定积分得,()()()[]()()()()x x xf x x f b a x x f b f a f a b bababad 2d d 2⎰⎰⎰-'++>+-.故有,()()()()2d b f a f a b x x f ba+-<⎰.3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用例 2 设函数()x f 在[]b a ,上二阶可导，且()()0='='b f a f ，试证存在一点[]b a ,∈ξ，使得()()()()a f b f a b f --≥''24ξ.分析由题意()()0='='b f a f ，可见0x 应取a ，b ()x f 在[]b a ,二阶可导，可知至多展到第三项.证明 在a x =0，b x =0处应用泰勒公式得()()()()()()()()()()()()()()b x b x f b x b f b f x f x a a x f a x a f a f x f ,2,2222121∈-''+-'+=∈-''+-'+=ξξξξ若取2ba x +=，且因为()()0='='b f a f ，上式变为 ()()⎪⎭⎫⎝⎛+∈⎪⎭⎫⎝⎛-''-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2,222121b a a b a f b a f a f ξξ， ()()⎪⎭⎫⎝⎛+∈⎪⎭⎫⎝⎛-''-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b b a b a f b a f b f ,2222222ξξ, 从而()()()()()()()()()88212212b a f f b a f f a f b f -''+''≤-''-''=-ξξξξ.取()()(){}()()()ξξξξξξf f f f f f 2,max 2121≤+∴=,且()()b a ,,21⊂∈ξξξ.故有()()()()a f b f a b f --≥''24ξ. 3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限在求函数值与函数极限的过程中，可以利用泰勒展开式来替换，以简化计算.在求高阶导数时可以利用泰勒公式直接求得.例3 求极限422cos limx ex x x -→-.分析 利用麦克劳林展开式，由所求的式子分母的4x 可见，泰勒展开式应该展到第5项，且带佩亚诺余项，若用洛比达法则求解，要使用四次.解 根据麦克劳林展开式有()4422421cos x xx x ο++-= , ()44222821x x x x eο++-=-.故原式=()12112lim 4440-=+-→x x x x ο.例4 求x exd 21⎰-的近似值，精确到510-.分析 所求的2x e -的在[]1,0定积分是不能直接求出的，可以利用2x e -的麦克劳林展式，得出其近似估计.解 由泰勒公式有 () +-+++-=-!1!212422n xx x e n n x .故逐项积分得() +-+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰-x n xx x x x x x e nn x d !1d !2d d 1d 10210410210102() ++⋅-+-⋅+-=121!1151!21311n n n +-+-+-+-=75600193601132012161421101311.从上式可以看出，等式的右端是一个收敛的交错级数.由其余项n R 的估计式知000015.0756001<≤n R , 已经满足精确到510-. 故有746836.093601132012161421101311d 102≈+-+-+-≈⎰-x e x .例5 求函数()x e x x f 2=在1=x 处的高阶导数()()1100f . 分析 直接求()()x f 100不太现实，这里可以利用泰勒公式.泰勒公式通项中的()nx x 0-的系数正是()()0!1x f n n ，可以直接求得()()0x f n ，不必依次求导. 解 设1+=u x ，则()()()u u e e u e u x f ⋅+=+=+21211，记()()u e e u u g ⋅+=21,故有()()()()01n n g f =.因为ue 在0=u 的泰勒公式为()1001009998!100!99!981u u u u u e uο++++++=，从而 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=10010099982!100!99!98112u u u u u u u e u g ο . 因为()u g 泰勒展开式中含100u的项应该为()()100100!1000u g ，与上式相比较()()100100100!1000!1001!992!981u g u e =⎪⎭⎫ ⎝⎛++. 故有()()()()e g f 1010101100100==.3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点泰勒公式也可以用来研究函数的凹凸性及拐点.先给出相关的定理及其证明. 定理1 设()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,上具有一阶和二阶导数．若在()b a ,内，()0>''x f ，则()x f 在[]b a ,上的图形是凸的．证明 设d c <为[]b a ,内任意两点，且[]d c ,足够小。