石家庄市2018届质检二理科答案石家庄市2017-2018学年高中毕业班第二次质量检测试题理科数学答案一、选择题1-5CACDD 6-10ACBBA 11-12BC二、填空题 13．14． 3 15．13(,)24-16.25-三、解答题 17.解：（1）在△ABC中sin sin tan tan 2cos cos A BA B A B=+=+QL L 分sin cos +sin cos 4sin cos cos cos 1tan sin cos 3C A B B AA B A B A A A A π=∴=L L 即：分则：＝总体得分扣1分）（2）由题6月份日销量z 服从正态分布()0.2,0.0001N ，则日销量在[1800,2000)的概率为0.95450.477252=， 日销量在[2000,2100)的概率为0.68270.341352=， 日销量[2100,)+∞的概率为10.68270.158652-=， ……………… 8分所以每位员工当月的奖励金额总数为(1000.477251500.341352000.15865)30⨯+⨯+⨯⨯....10分3919.7253919.73=≈元 (12)分19.证明：（1）连接1BC 交1B C 于O ，连接AOQ侧面11BB C C 为菱形，∴ 11B C BC ⊥Q 1AB AC =， O 为1BC 的中点，∴1AO BC ⊥ (2)分又1B C AO O ⋂=，∴1BC ⊥平面1AB C1BC ⊂平面11BB C C ∴平面1AB C ⊥平面11BB C C (4)分（2）由1AB B C ⊥，1BO B C ⊥，AB BO B ⋂=， ∴1B C ⊥平面ABO ，AO ⊂平面ABO∴1AO B C⊥…………………6分从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OBu u u r的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -Q直线AB 与平面11BB C C 所成的角为030，∴030ABO ∠=设1AO =，则3BO =，又0160CBB ∠=，∴△1CBB 是边长为2的等边三角形∴1(0,0,1),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0)A B B C -，………………………8分1111(0,1,1),(0,2,0),(3,0,1)AB BC A B AB =-=-==-u u u r u u u r u u u u r u u u r设(,,)n x y z =r是平面11A B C的法向量，则11100n A B n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u r 即000200y z x y z +⋅-=⋅-+⋅=⎪⎩令1x =则n =r…………10分设直线1AB 与平面11A B C 所成的角为θ则111sin |cos ,|||4||||AB n AB n AB n θ⋅=<>==⋅u u u r ru u u r r u u u u r r∴直线1AB 与平面11A B C所成角的正弦值为分20.解：（1）由已知可得圆心),(:b a C ，半径23=r ，焦点)2,0(p F ，准线2p y -= 因为圆C 与抛物线F 的准线相切，所以223pb -=，……………………2分且圆C 过焦点F ，又因为圆C 过原点，所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上，即4pb = ………………………4分所以4223pp b =-=，即2=p ，抛物线F 的方程为yx 42= …………………5分（2）易得焦点)1,0(F ，直线L 的斜率必存在，设为k ，即直线方程为1+=kx y 设),(),,(2211y x B y x A⎩⎨⎧=+=yx kx y 412得442=--kx x ，>∆，4,42121-==+x x k x x ………… 6分对42x y =求导得2'x y=，即21x kAP=直线AP 的方程为)(2111x x x y y -=-，即211412x x x y -=， 同理直线BP 方程为222412x x x y -=设),(0y x P ，联立AP 与BP 直线方程解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===+=1422210210x x y k x x x ，即)1,2(-k P ……………… 8分所以)1(412212k x x k AB +=-+=，点P 到直线AB 的距离22212122k kk d +=++=……………………10分所以三角形PAB 面积4)1(412)1(42123222≥+=+⋅+⋅=k k k S ，当仅当0=k 时取等号综上：三角形PAB 面积最小值为4，此时直线L 的方程为1=y . ………………12分 21．解:（Ⅰ）由题意0x >，()1ln f x a a x '=++①当0a =时，()f x x=，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；………1分②当a >时，函数()1ln f x a a x '=++单调递增，11()1ln 00af x a a x x e--'=++=⇒=>，故当110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以函数()f x 在110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()f x 在11,ax e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ………3分③当a <时，函数()1ln f x a a x '=++单调递减，11()1ln 00af x a a x x e--'=++=⇒=>，故当110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当11,ax e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在110,ax e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函数()ln f x x ax x =+存在极大值，则0a <，且111ae--=，解得1a =-， 故此时()ln f x x x x=-，………6分要证2()x f x e x -≤+，只须证2ln x x x x e x --≤+，及证2ln 0x e x x x x -+-+≥即可，设()2ln xh x ex x x x -=+-+，0x >．()2ln x h x e x x -'=-++，令()()g x h x '=()120x g x e x-'=++>，所以函数()2ln xh x ex x -'=-++单调递增，又11210e h e e e -⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，()1120h e'=-+>， 故()2ln xh x ex x-'=-++在1,1e⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，即0002ln 0x e x x --++=．………………8分所以当()00,x x ∈，()0h x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以函数()h x 在()00,x x ∈上单调递减，函数()h x 在(),x x ∈+∞上单调递增， 故()()0200000ln x h x h x ex x x x -≥=+-+，所以只须证()0200000ln 0x h x ex x x x -=+-+≥即可，由0002ln 0x ex x --++=，得0002ln x ex x -=+，所以()()()00001ln h x x xx =++，又010x +>，所以只要00ln 0x x +≥即可， ………10分 当00ln 0xx +<时，000000ln 0x x xx x e e x --<-⇒<⇒-+<所以00x e x --++00ln 0x x +<与0002ln 0x ex x --++=矛盾，故00ln 0x x +≥，得证．………12分（另证） 当00ln 0xx +<时，000000ln 0x x xx x e e x --<-⇒<⇒-+<所以00x e x --++00ln 0x x +<与0002ln 0x ex x --++=矛盾； 当00ln 0xx +>时，000000ln 0x x xx x e e x -->-⇒>⇒-+>所以00x e x --++00ln 0x x +>与0002ln 0x ex x --++=矛盾； 当00ln 0xx +=时，000000ln 0x x xx x e e x --=-⇒=⇒-+=得0002ln 0x ex x --++=，故 00ln 0xx +=成立，得()()()01ln 0h x x x x =++=，所以()0h x ≥，即2()xf x ex -≤+．22.解：（1）曲线1C 的普通方程为1)122=+-y x （，1C 的极坐标方程为,cos 2θρ=….3分2C 的极坐标方程为αρ22sin 18+=………5分（2）联立)0(≥=ραθ与1C 的极坐标方程得α22cos 4=OA ，联立)0(≥=ραθ与2C 的极坐标方程得ααα2222sin 18sin 2cos 8+=+=OB ，……7分 则22OA OB-= αα224cos -sin 18+=)sin -14-sin 1822αα（+ =8-)sin 14sin 1822αα+++（ ………………………9分.8288)sin 1(4)sin 18(222-=-+⨯+≥αα（当且仅当12sin -=α时取等号）. 所以22OA OB-的最小值为.828-…….10分 23.解：)1(当1=a 时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=.21,4,2121,2,21,4)(x x x x x x f………………………2分当21-<x 时，2)(≤x f 无解； 当2121≤≤-x 时，2)(≤x f 的解为2121≤≤-x ； 当21->x 时，2)(≤x f 无解； 综上所述，2)(≤x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-2121x x ………….5分)2(当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,21a x 时，1)12()2()(+=++-=a x x a x f ,…….6分 所以)()(x g x f ≥可化为)(1x g a ≥+………….7分 又34)(2-+=ax x x g 的最大值必为)21-(g 、)2a (g 之一…………………9分 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥2342a a 即.234≤≤-a 又,1->a 所以.21≤<-a 所以a 取值范围为(]2,1-………10分11()21()2a g a a g ⎧+≥-⎪⎪∴⎨⎪+≥⎪⎩。