LO mO (mivi ), mO (Fi (i) )0,则
dLO dt
mO
(Fi (e)
)MO(e)
一质点系对固定点的动量矩定理
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
dLx dt
mx
(Fi
O
将I O
1 2
Pr2 g
代入,
得
LO
r
g
2
(
PA
PB
P 2
)
由动量矩定理：
d [r
dt g
2
(
PA
PB
P 2
)](
PA
PB
)r
d g PA PB
dt r PA PB P/2
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[例4] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 v
上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？
动的速度多大？（轮重不计）
质系对轴z 动量矩： Lz mz (mivi ) LO z
4
刚体动量矩计算：
1．平动刚体 LO mO (mvC )rC mvC
(ri mivi miri vC rC mvC )
Lz mz (mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点 （轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体 Lz mz (mivi ) miri2 Iz
1
第十三章 动量矩定理 §13–1 动量矩 §13–2 动量矩定理 §13–3 刚体定轴转动微分方程 §13–4 刚体对轴的转动惯量 §13–5 质点系相对于质心的动量矩定理 ·
刚体平面运动微分方程 习题课
2
质点 动量定理： 质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢）
质点系的动量矩守恒 当 MO(e) 0 时， LO 常矢量。
当 M z(e) 0 时，Lz 常量。
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[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
M (e) O
PAr
PBr
(PA
PB
)r
LO
PA g
vr
PB g
vr
I
在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
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二．质点系的动量矩定理
对质点Mi ：
d dt
mO
(mi
vi
)
mO
(Fi
(i
)
)mO
(Fi
(e)
)
(i 1,2,3,,n)
对质点系，有 ddtmO (mivi )mO (Fi(i) )mO (Fi(e) ) (i1,2,3,,n)
左边交换求和与导数运算的顺序，而
7
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
mx
(mv
)
mx
(
F
),
d dt
my
( mv
)
m
y
(
F
),
d dt
mz
( mv
)
mz
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若 mO (F )0 (mz (F )0) 则 mO (mv ) 常矢量 (mz (mv )常量) 称为质点的动量矩守恒。
8
[例2] 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止
开始释放。 求单摆的运动规律。
解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
mO (F )mO (T )mO (mg )mglsin
运动分析：v l , OM 。mO (mv )mll ml 2
由动量矩定理 即 d (ml2)
d dt
mO
(mv
两边叉乘矢径
r
,
有
r
d (mv ) dt
r
F
左边可写成
r
d (mv ) dt
d dt
(r
mv )
dr dt
mv
而dr dt
mv
v
mv
0
,
r F mO (F ) ,
故：
d dt
(r
mv
)r
F
,
ddt[mO (mv )]mO (F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
解：mO (F (e) )0 , 系统的动量矩守恒。
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mO (mv) 2OAB
mz (mv) 2OA' B'
正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负
逆时针为正
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
mO (m(v) zmz (mv)
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。kg·ｍ2/s。
二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩： LO mO (mivi )ri mivi
(e)
)M
(e) x
,
dLy dt
my
( Fi
(e)
)M
y
(e)
,
dLz dt
mz
( Fi
(e)
)
M
(e) z
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上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。
)
mgl sin
mO (F ) , g
sin
0
dt
l
微幅摆动时，sin ,
并令 n2
g l
，则
n2
0
解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0,0 0) 则运动方程
0 cos
gt l
，摆动周期
T 2
g l
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注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正） 质点动量矩定理的应用：
滑轮B：m2，R2，I2 ；物Байду номын сангаасC：m3 ，v3
求系统对O轴的动量矩。 解：LO LOA LOB LOC
I11 (I22 m2v2R2 ) m3v3R2
v3
v2
R2 2
1 2
R11
LO
(
I1 R2 2
I2 R2 2
m2
m3 )R2v3
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§13-2
一．质点的动量矩定理
动量矩定理
d (mv ) F dt
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。
3．平面运动刚体 Lz mz (mvC ) IC
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴 作转动时的动量矩之和。
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[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1
若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
§13-1 动量矩
一．质点的动量矩
质点对点O的动量矩：mO (mv )r mv 矢量
质点对轴 z 的动量矩：mz (mv )mO (mvxy ) 代数量