丰台区2014学年度第二学期期中练习高 三 数 学（文科） 2014.3第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{|11}A x R x =∈-≤≤，{|(3)0}B x R x x =∈-≤,则A B 等于 （A ） {|13}x R x ∈-≤≤ （B ） {|03}x R x ∈≤≤ （C ） {|10}x R x ∈-≤≤ （D ） {|01}x R x ∈≤≤ （2）已知等比数列{}n a 中，23a a +＝1，45a a +＝2，则67a a +等于 （A ）2 （B ）（C ）4 （D ）（3） 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（A ）85 （B ）2912（C ）53 （D ）138（4）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，它在[0,)+∞上是减函数. 则下列各式一定成立的是（A ）(0)(6)f f < （B ）(3)(2)f f -> （C ）(1)(3)f f -> （D ）(2)(3)f f -<-（5）设向量a =()21x ,-，b =()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 （A ）x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （B ）x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 （C ）x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D ）x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （7） 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（A）（B）（C）（D）主视图侧视图俯视图（8）在同一直角坐标系中，方程22ax by ab +=与方程0ax by ab ++=表示的曲线可能是（A ） (B) (C) (D)第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________.（10）复数2ii+在复平面内对应的点的坐标是____________. （11） 以点（-1,1）为圆心且与直线0x y -=相切的圆的方程为____________________.（12）已知函数()2x f x =,点P(,a b )在函数1(0)y x x=>图象上，那么()()f a f b ⋅ 的最小值是____________.（13） A ，B 两架直升机同时从机场出发，完成某项救灾物资空投任务.A 机到达甲地 完成任务后原路返回；B 机路过甲地，前往乙地完成任务后原路返回.图中折线分别表示A ，B 两架直升机离甲地的距离s 与时间t 之间的函数关系. 假设执行任务过程中A,B 均匀速直线飞行，则B 机每小时比A 机多飞行 公里.（14）设不等式组40,40,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，不等式组,(04)04t x t t y t -≤≤⎧≤≤⎨≤≤-⎩表示的平面区域为N.在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率为P.①当1t =时，P=__________；② P 的最大值是_________.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本题共13分）已知函数2()2cos sin(2)1f x x x π=-+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.（16）（本题共13分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人， 他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”。
（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的 健康指数不大于0的概率.（17）（本题共14分）如图，四边形ABCD 与四边形ADMN 都为正方形，AN AB ⊥，F 为线段BN 的中点，E 为线段BC 上的动点.（Ⅰ）当E 为线段BC 中点时，求证：//NC 平面AEF ； （Ⅱ）求证：平面AEF ⊥BCMN 平面； （Ⅲ）设BEBC=λ，写出λ为何值时MF ⊥平面AEF(结论不要求证明).（18）（本题共13分）已知曲线()x f x ax e =-(0)a >. （Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线；（Ⅱ）若存在实数0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围. （19）（本题共14分）如图，已知椭圆E: 22221(0)x y a b ab +=>>的离心率为2，过左焦点(0)F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB 的中点为M,直线l ：40x ky +=交椭圆E 于C,D 两点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）求证：点M 在直线l 上；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得四边形AOBC 为平行四边形?若存在求出k 的值，若不存在说明理由.（20）（本题共13分）从数列{}n a 中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{}n a 的一个子列.（Ⅰ）写出数列{31}n -的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）设{}n a 是无穷等比数列，首项11a =，公比为q .求证：当01q <<时，数列{}n a 不存在是无穷等差数列的子列.丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一）数学（文科）答案 2014.3二、填空题 9．13 10.12,55⎛⎫⎪⎝⎭ 11.()()22112x y ++-= 12. 4 13. 20 14. 38;12三、解答题（15）解：（Ⅰ）()cos 2sin 2)4f x x x x π=+=+22T ππ∴==.---------------------------------------------------------------7分（Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 52,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦sin(2),142x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦5244x ∴+=ππ即2x π=时，()f x 的最小值为1-,242x +=ππ即8x π=时，()f x 分（16）解：（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为120133342871201333413300++=+++，所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为287300.-----------5分（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人 共有70人，所以被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康 指数不大于0.设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为， 健康指数不大于0的老龄人为B .从这五人中抽取3人，结果有10种： ，，，，，，，，，其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种： ，，，，，所以被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为. -----------------13分（17） （Ⅰ）证明：F 为线段NB 的中点, E 为线段BC 中点 所以又NC ⊄平面AEF , EF ⊆平面AEF所以//NC 平面AEF-----------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）证明：四边形ABCD 与四边形ADMN 都为正方形 所以AD ⊥NA ,AD ⊥AB NAA B A =，所以AD ⊥平面NABAF ⊆平面NAB ，故AD ⊥AF//AD BC ，所以BC AF ⊥由题意NA =AB ，F 为线段NB 的中点 所以AF NB ⊥ N BB C B =，所以AF ⊥平面BCMN AF ⊆平面AEF所以平面AEF ⊥平面BCMN .-------------------------------------------11分 （Ⅲ）12λ=--------------------------------------------------------------------14分 （18）解：（Ⅰ）因为(0)1f =-，所以切点为（0，-1）. ()x f x a e '=-，(0)1f a '=-，所以曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程为：y =(a -1)x -1.---------------4分（Ⅱ）因为a>0，由()0f x '>得，ln x a <，由()0f x '<得，ln x a >，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递增，在(ln ,)a +∞上单调递减，所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a=-. 因为存在0x 使得0()0f x ≥，所以ln 0a a a -≥，所以a e ≥.----------13分 19. 解：（Ⅰ）由题意可知2c e a ==，c =2,1a b ==. 所以，椭圆的标准方程为2214x y +=程.---------------------------------3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，22()14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩即2222(41)1240k x x k +++-=.所以，212241x x k -+=+，21202241x x x k +-==+，002(41y k x k =+=+，于是222(,)4141M k k -∴++.40k +=，所以M 在直线l 上.---------------------------9分 （Ⅲ）设存在这样的平行四边形，则M 为OC 中点设点C 的坐标为33(,)x y ，则302y y =.因为22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y ==，解得218k =，即k =.所以，当k =时四边形AOBC的对角线互相平分，即当k =时四边形AOBC 是平行四边形.------------------------------------------------14分（20）解：（Ⅰ）212n n a -=（若只写出2,8,32三项.给满分）.----------------------------------5分 （Ⅱ）证明：假设存在是等差数列的子列{}n b ，11,01a q =<<1(0,1]n n a q -∴=∈，且数列{}n a 是递减数列，所以{}n b 也为递减数列且n b ∈（0，1]，0d <, 令1(1)0b n d +-<，得111b n d>->， 即存在*(1)n N n ∈>使得0n b <，这与n b ∈（0，1]矛盾.所以数列{}n a 不存在是无穷等差数列的子列.----------------------------13分。