一、双曲线知识点总结:1. 双曲线的定义（1）第一定义：当时,P的轨迹为双曲线;当时,P的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点F与定直线l(定点 F不在定直线l上)的距离之比是常数e(1>e)的点的轨迹为双曲线2. 双曲线的标准方程与几何性质与双曲线12222=-b y a x共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x与双曲线12222=-b y a x共轭的双曲线为22221y x b a -=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±=，离心率为2=e.；1.注意定义中“陷阱问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点 P到21,F F距离之差为6，则双曲线的方程为2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为xy 23±=，则离心率为二、双曲线经典题型:1.定义题：1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-b y a x上，依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得 5680±=x，∵|PB|>|PA|,10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680 处.2. 设P 为双曲线11222=-y x上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由①又 ,22||||21==-a PF PF②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF故选B 。

3.如图2所示，F为双曲线1169:22=-y x C的左焦点，双曲线C上的点iP与()3,2,17=-i P i关于y轴对称，则FP F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ）A ．9B ．16C ．18D ．27[解析]=-F P F P 61=-F P F P 52 643=-F P F P，选C4. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A ）a -（B ） b -（C ）c -（D ）c b a -+［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为x，由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||5. 若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A.B.C.D.【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选A.2.求双曲线的标准方程1已知双曲线C 与双曲线162x－42y=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组[解析] 解法一：设双曲线方程为22a x－22b y=1.由题意易求c=2 5.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a－24b=1.又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y=1.解法二：设双曲线方程为k x -162－k y +42＝1，将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为122x－82y＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；[解析]设双曲线方程为λ=-224y x，当 0>λ时，化为1422=-λλy x，2010452=∴=∴λλ，当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F为右焦点,且两条渐近线是03=±y x的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F为)0,32(，设双曲线方程为 λ=-223y x，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x4.已知点 (3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B，动圆C与直线MN切于点 B，过M、 N与圆C 相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<-B ．221(1)8y x x -=>C ．1822=+y x（x > 0） D ．221(1)10y x x -=>[解析] 2=-=-BN BM PN PM，P点的轨迹是以 M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B3.与渐近线有关的问题1若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C. 5D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通c b a ,,的关系[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2= ，5122222=+==a b a c e,所以5=e【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过 c b a ,,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A.23y x=±B.49y x=±C.32y x=±D.94y x=±[解析]选C3.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A ． 1241222=-y xB ．1241222=-x yC ． 1122422=-x yD ．1122422=-y x[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B4.过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.4.几何1.设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C.D．【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°.∴.选B.5.求弦1.双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）A.B.C.D.【解析】设弦的两端分别为.则有：.∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2.在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.。