椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．
要点四：直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y），
若点M（x，y）在椭圆上，则有 ；
③Δ＜0 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线 交椭圆 于点 两点，则
= =
同理可得
这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
，
．
【典型例题】
类型一：椭圆的简单几何性质
例1．求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
【解析】根据椭圆的标准方程 ，得 ，
由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cOs120°①
又|PF1|+|PF2|=2a②
联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴ ，
．
【思路点拨】求离心率或离心率的范围，通常构造关于 ， ， 的齐次式，从而构造出关于 的方程或不等式．
举一反三：
【变式】已知椭圆 ，以 ， ， 为系数的关于 的方程 无实根，求其离心率 的取值范围．
【答案】由已知， ，所以 ，
即 ，
不等式两边同除 可得 ，
解不等式得 或 ．
由椭圆的离心率 ，
所以所求椭圆离心率 ．
类型三：直线与椭圆的位置关系
例6．对不同实数M，讨论直线 与椭圆 的公共点的个数．
【解析】由题意得
将(1)代入（2）得
整理得 ，（3）
由
当 时， ，方程（3）有两个不同的实数根，此时直线与椭圆有两个公共点；
3．情感态度、价值观目标：
在椭圆的简单性质的学习过程中，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．
【要点梳理】
要点一：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆 和它的图象（如图）来研究椭圆的简单几何性质．
1．对称性
对于椭圆标准方程 ，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆 是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．
【答案】7
【高清课堂：椭圆的性质356756例1】
【变式2】求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
【答案】长轴长 ，短轴长 ，离心率 ，焦点 ，顶点是 ， ， ， ．
例2．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且 ，求椭圆的方程．
【解析】椭圆的长轴长为6， ，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c， ， ，
椭圆的简单性质
编稿：张林娟审稿：孙永钊
【学习目标】
1．知识与技能目标：
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴、对称中心、顶点、离心率的概念；进一步掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题．
2．过程与方法目标：
引导学生通过观察、类比、讨论等方法，让学生迅速获得椭圆的性质．
2．范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b．
3．顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．
②椭圆 （a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）．
当 时， ，方程（3）有两个相等的实数根，此时直线与椭圆有一个公共点；
当 时， ，方程（3）没有实数根，此时直线与椭圆没有公共点．
【思路点拨】在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，通过构造方程组化为关于x，（或y）的一元二次方程，借助于一元二次方程的判别式、根与系数关系来解决．
举一反三：
【变式】若直线 与椭圆 恒有公共点，求实数 的取值范围．
要点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长= ，短轴长=
离心率
要点诠释：椭圆 ， （a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和 ，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
【答案】D
【变式2】椭圆 上一点到两焦点的距离分别为 ，焦距为 ，若 成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿．
【答案】
例4．设M为椭圆 上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率．
【解析】在△MF1F2中，由正弦定理得
，
即
∴ ，
∴ ．
【思路点拨】本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e．
所以c=2，b2=32－22=5，
故椭圆的方程为 或 ．
【思路点拨】灵活运用椭圆的几何性质：①a2=b2+c2；②长轴长2a，短轴长2b，进行求参数的值或求椭圆的方程．
举一反三：
【变式】长轴长等于20，离心率等于 ，求椭圆的标准方程．
【答案】 或
类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
例3．（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为 的两段，求其离心率；
若点M（x，y）在椭圆内，则有 ；
若点M（x，y）在椭圆外，则有 ．
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程 与椭圆的方程 联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ．
①Δ＞0 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
2．75
2．4
1．8
0
先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图2-2-9）．
【思路点拨】由已知方程可确定椭圆在四条直线x=±5，y=±3所围成的矩形框内，以两坐标轴为对称轴，原点为对称中心，所以只需画出椭圆在第一象限的图形，就可画出椭圆．
举一反三：
【变式1】椭圆 上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=____．
（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率．
【解析】（1）由题意得 ，即 ，解得 ．
（2）由题意得 ，解得 ，故离心率 ．
【思路点拨】椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式．
举一反三：
【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）
要点诠释：
椭圆 的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
要点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2．
个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形 有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算与解题，将有关线段 、 、 ，有关角 ( )结合起来，建立 、 之间的关系．
因此，长轴长 ，短轴长
∴离心率 ，
焦点为F1（―4，0）和F2（4，0），顶点为A1（―5，0），A2（5，0），B1（0，―3），B2（0，3）．
将方程变形为 （―5≤x≤5），根据 （－5≤x≤5），
可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标（x，y），列表如下：
x
0
1
2
3
4
5
y
3
2．94
【答案】
【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿．
【答案】
例5．已知椭圆 ，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使 ，求其离心率 的取值范围．
【解析】△F1PF2中，已知 ，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作 ．
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1．e越接近1，则c就越接近a，从而 越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2．