x
d
0

C
解得
f1x
1 2
x
1 2a
x
0
d
C 2
f2
x
1 2
x
1 2a
x
0
d
C 2
代入通解表达式，得
ux, t
1 [x
2
at x
at]
1 2a
xat
xat
d
—达朗贝尔(D’Alembert)公式.
考虑 u2 f2( x at ) 的物理意义
u2
u2
f2( x)
x
a a
t=0
a
3a
2
2
第三章 行波法与积分变换法
➢ 行波法(求解无界区域内波动方程定解问题) ➢ 积分变换法 (无界或有界区域)
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
utt a 2u xx ( x , t 0)
u |t0 x ut |t0 x
考虑代换
x at x at
利用复合函数求导法则得
u u u u u x x x
2u 2 2u 2u
2 2
代入方程化简得:
2u 0
它的通解为
u( ,) f1( ) f2 ()
于是，原方程的通解为
u(x, y) f1(3x y) f2 (x y)
代入初条件始得
f1(3x) f2 (x) 3x2
f1(3x)
f
2
(
x)
0
第二式的两端得关于x 积分得
2u x2
(3 u
u )
x
(3 u
u
)
x
9
2u
2
6
2u
2u
2
2u (3 u u ) (3 u u ) xy y y
3
2u
2
2 2u
2u
2
u u u u u y y y
3x y x y
2u ( u u ) ( u u ) y2 y y
u |y0 3x2 u y | y0 0
解: 特征方程
dy2 2dxdy 3dx2 0
两族积分曲线为 (dy 3dx)dy dx 0
3x y C1 x y C2
做特征变换
3x y x y
u u u 3 u u x x x
3x y x y
A
dy dx
2
2B
dy dx
C
0
A
dy dx
2
2B
dy dx
C
0
即有 dy B B2 AC
dx
A
记
(x, y) B2 AC
(*)
称其为二阶线性偏微分方程的判别式
( x, y) 0 双曲型方程
( x, y) 0 椭圆型方程
( x, y) 0 抛物型方程
可以证明，当 (x, y) 0 时，有两条相异的实特 征线
1 3
f1 3x
f2
x
1 3
f1 0
f2
0 =C
解得
f1
3x
9 4
x2
3 4
C
f1
x
1 4
x2
3 4
C
f2
x
3 4
x2
3 4
C
所求问题的解为
ux, y 1 3x y2 3 x y2 3x2 y2
4
4
例 求方程 uxx 2sin x uxy cos2 xuyy cos xuy 0
其中 f1 , f 2 是任意的二次连续可微函数.
dx2 a 2 dt2 0
的积分曲线, 这个常微分方程称为它的特征方程 .
一般的二阶线性偏微分方程
Au xx 2Bu xy Cu yy Du x Eu y Fu G, (*)
它的特征方程为 Ady2 2Bdxdy C dx2 0
这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的
特征曲线.
2u u u u u
x2
(
)
x
(
)
x
2u 2 2u 2u
2 2
u u u a u a u t t t 2u (a u a u ) (a u a u ) t2 t t
a2
2u
2
2a2
2u
a2
2u
2
将 2u x2
2u
2
2
2u
播的行波, 称为左行波.
在 x t平面上斜率为
1 a
的两族直线 x at 常数
对一维波动方程的研究起到重要作用,
称这两族直线为一维波动方程的特征线, 变换
x at
称为特征变换, 行波法也叫特征线法.
x at
一维波动方程
utt a2uxx
的两族特征线 x at 常数 恰好是常微分方程
t=1/2
u2
u2
随着时间
t 的推移 x u2的图形
以速度a 向x轴正 向移动.
2a x
t=1
图 3-1
x
a 3a
t=2
物理意义: 随着时间 t 的推移, u2 f2 x at
的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动, 也就是说, 它表示一个以速度a 向x 轴正方向行进的波, 称为 右行波.
同样道理, u1 f1x at 以速度a 向x 轴负方向传
2u
2
和 2u a2 2u 2a2 2u a2 2u
t 2
2
2
代入原方程得
2u 0
因此
u x,t f1() f2
f1 x at f2 x at
利用初始条件，确定两个函数的具体形式。
u |t0 f1( x a 0) f2( x a 0)
f1x f2 x x ……………①
ut |t0 af '1( x a 0) af2 '( x a 0)
af '1 x af '2 x x ……………②
由第二式得
f1 x
f2 x
1 a
x
0
d
C
.............③
其中 C f1(0) f2 (0)
由①, ③
f1x f2 x x
f1 x
f2 x
1 a
1(x, y) c1,2 (x, y) c2
因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特
征线做自变量替换 1(x, y), 2 (x, y) 总可以
把双曲型方程化为
2u 0
从而得到方程的通解
u f1( ) f2 ()
例 求下面问题的解:
u xx 2u xy 3u yy 0
(3.1)
的一般解.
解 特征方程为
dy2 2sin x dxdy cos2 x dx2 0
dy sin x 1 dx
特征曲线为
y x cos x C1
y x cos x C2
所以，做变换 x y cosx x y cosx
则原方程可以变为
2u 0
于是，方程的通解为
ux, y f1x y cos x f2 (x y cos x)