最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号
课名
学分
1
微积分
5
2
线性代数
4
3 最优化方法
4
队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
问题分析 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时
刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积
• 损失费Bf(1(tx)).是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决 定• .救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决 定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和
数
结果解释
x c1t12 2c2t1
2c 2
3
c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费,
c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻,
~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度.
c1, t1, x
c3 , x
模型应用
c1,c2,c3已知, t1可估 ,可设置一系列数 计, 由模型决定队员数值量x
刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积
• 损失费Bf(1(tx)).是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决 定• .救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决 定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和
最小
森林救火
问题
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。
队员多，森林损失小，救援费用大；
例2 选课策略
课号
课名
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
1
2
模型建立
目标函数——总费用
C(x)
c1 t12
2
c t2 2
1
1
2(x )
c2 t1x x
c3 x
模型求解
dC 0 dx
结果解释
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已
知参数
求 x使 C(x)最
小
x
c1t12 2c2t1 2c32
dB dt
b
0 t1
x
t2 t
• / 是火势不继续蔓延的最少队员
7 计算机编程
计算机
8
预测理论
运筹学
9
数学实验 运筹学；计算机
最少2门数学课， 约束条件 3门运筹学课，
xi=1 ~选修课号i 的课程（xi=0 ~不
选） 目标函数
选修课程总数最少
9
Min Z xi i 1
x1 x2 x3 x4 x5 2
x3 x5 x6 x8 x9 3
2门计算机课。
9
Min Z xi i 1
Max W 5x1 4x2 4x3 3x4 4x5 3x6 2x7 2x8 3x9
两目标(多目标)规划
Min{Z, W}
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
• 以课程最少为目标， 不管学分多少。
最优解如上，6门课 程，总学分21 。
• 以学分最多为目标， 不管课程多少。
更
用
新
数
数
学
学
抽
逻
数
空
数
数
软
知
象
辑
学
间
学
据
件
识
思
推
运
想
建
处
能
能
维
理
算
象
模
理
力
力
能
能
能
能
能
能
力
力
力
力
力
力
二、建模范例
问题
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。
队员多，森林损失小，救援费用大；
队员少，森林损失大，救援费用小。
综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
问题分析 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时
最小
问题分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假
设.
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻 t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致
图形
B
分析B(t)比较困难,
转而讨论森林烧毁 B(t2)
速度dB/dt.
0
t1
t2
t
模型假设
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速 度2））t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
约束条件 先修课程要求
x3=1必有x1 = x2
=1
x3 x1 , x3 x2
2x3 x1 x2 0 x7 x4 x7 0
2x5 x1 x2 0 x6 x7 0
x8 x5 0
2x9 x1 x2 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
学分最多
怎样建立数学模型
石家庄经济学院数理学院 康娜
2009年6月2日
一、 现代科技人员应具有的数学能力 现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。
* 数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用.
*更重要的方面是数学的思维方式的确立.
21世纪科技人才应具备的数学素质与能力
使
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失 费4））每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
假设1） 的解释
半径 r与 t 成正比
r
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1） 假设2）
dB
b t1,
t t b
x4 x6 x7 x9 2
0-1规划模型
课号
课名
先修课要求
1
微积分
2
线性代数
3
最优化方法 微积分；线性代数
4
数据结构
计算机编程
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
9
数学实验 微积分；线性代数
模型求解（LINGO）
最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课
为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？
选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
决策变量
课号
课名
所属类别
1
微积分
数学
2
线性代数
数学
3 最优化方法 数学；运筹学
4
数据结构
数学；计算机
5
应用统计
数学；运筹学
6 计算机模拟 计算机；运筹学
2 1 x
dt
b
t
t t 1
2 1 x 0
t1
x t2 t
B(t2 )
t2 B (t)dt bt2 t12 2t12
0
2 2 2(x )
假设3）4） f1(x) c1B(t2 ), f2 (x) c2x(t2 t1) c3x
目标函数——总费用
C(x) f (x) f (x)