动点的轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。

该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。

轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。

求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含 x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P（x,y）却随另一动点Q（x ' ， y ' ）的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x ',y ' 表示为 x,y的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然而整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

6.转移法：如果动点 P 随着另一动点 Q 的运动而运动，且 Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将 Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到 P 点的轨迹方程。

7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A(x1,y1),B(x2,y2)并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。

对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。

二、注意事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P的运动规律，即 P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

2.轨迹方程既可用普通方程F(x，y) = 0表示，又可用参数方程x = f (t)(t为参数)y = g (t) 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解。

(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。

检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

4 ．求轨迹方程还有整体法等其他方法。

在此不一一缀述。

【典型例题选讲】一、直接法题型：例1 已知直角坐标系中，点Q(2，0)，圆C 的方程为x2 + y2=1，动点M 到圆C 的切线长与MQ的比等于常数(0) ，求动点M的轨迹。

解：设MN切圆C于N，则MN2 = MO2- ON2。

设M ( x, y) ，则x + y - 1 = ( x - 2) + y 化简得(2-1)(x2+ y2)-42x+(1+42)=0 (1)当= 1时，方程为x = ，表示一条直线。

4221+ 322)当1时，方程化为(x-22-1)2+ y2= (1+2 -31)2 表示一个圆。

说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

变式- - 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2 = 4 ，过动点P分别作圆O1 、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM = 2PN．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O1O2的中点O 为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1(-2,0),O2(2,0)由已知PM = 2PN可得：PM2=2PN2因为两圆的半径均为1，所以PO12-1=2(PO22-1)设P(x,y)，则(x+2)2-1=2[(x-2)2+ y2-1]，即(x-6)2+ y2=33 所以所求轨迹方程为：(x-6)2+ y2=33(或x2+ y2-12x+3=0)评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

二、定义法题型：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线 l于点A，又过B、C 作⊙O′异于l 的两切线，于点 P，求点P 的轨迹方程.【解析】设过B、C异于l 的两切线分别切⊙O′ 两切线交于点 P.由切线的性质知：|BA|=|BD|， |CA|=|CE|，故A B C l |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，22可求得动点P的轨迹方程为：x+y=181 72练习：已知圆 O的方程为 x2+y2=100,点 A 的坐标为(-6，0)， M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交 OM 于点P，求点P 的方程。

解：由中垂线知，PA = PM故PA + PO = PM + PO = OM =10 ，即P点的轨迹为以 A、O为焦点的椭圆，中心为(-3，0)，故 P 点的方程为(x +3)+ y =12525 16评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

代入法题型：例 3 如图，从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线，垂足为 N 。

求线段 QN 的中点P 的轨迹方程。

解：设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1)则 N ( 2x-x1,2y-y1 )代入 x+y=2, 得 2x-x1+2y-y1=2 ①又 PQ 垂直于直线 x+y=2，故1= 1 ，即 x-y+y1-x1=0 ②x-x3 1 1 3 由①②解方程组得x1= x + y -1, y1= x + y -1 , 代入双曲线方程即可得 P 点的轨迹方程是 2x2-2y2-2x+2y-1=0 练习：已知曲线方程 f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于 x 轴，关于 y 轴，关于直线 y=x，关于直线y=-x ，关于直线y=3 对称的曲线方程。

(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0) 四、参数法与点差法题型：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

例 4 经过抛物线 y2=2p(x+2p)(p>0) 的顶点 A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于 B、 C 两点，求线段 BC 的中点 M 轨迹方程。

解：A(-2p,0),设直线 AB 的方程为 y=k(x+2p)(k 0).与抛物线方程联立方程组可解得 B 点的坐标为( - 2 p, ) ，由于 AC 与 AB 垂直，则 AC 的方程为y = - (x + 2 p) ，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为(2k2p - 2 p,-2kp) ，又M为BC中点，设M(x,y),消去 k 得 y2=px,即点M 的轨迹是抛物线。

巩固与提高：1〉在平面直角坐标系 x Oy 中，抛物线 y=x 2上异于坐标原点 O 的 两不同动点 A 、B 满足AO ⊥BO (如图 4所示).求△AOB 的重心G (即三角形 三条中线的交点)的轨迹方程；解析】A (k ，k 2) ∵OA ⊥OB ，∴OB ：y =- x 由y =-k x 解得B - , 2 y = x2 消去参数k 得重心G 的轨迹方程为y = 3x 2 + 2∵OA ⊥OB ∴k k =-1,即x x + y y = -1， (2)又点A ，B 在抛物线上，有y 1 = x 12,y 2 = x 22 ，代入(2)化简得x 1x 2 =-1∴y = 1 2 = (x 1 +x 2)= [(x 1 +x 2) -2x 1x 2]= (3x ) + =3x +2 所以重心为 G 的轨迹方程为 y = 3x 2 + 2 。

2〉如图，设抛物线C : y = x 2的焦点为F ，动点P 在直线l : x - y -2=0上运动， 过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA 、PB ，且与抛物线 C 分别相切于 A 、B 两点.求 △APB 的重心 G 的轨迹方程.解析】设切点 A 、B 坐标分别为(x , x 02)和(x 1, x 12 )((x 1∴切线 AP 的方程为： 2x 0x - y -x 02=0; 切线BP 的方程为： 2x 1x - y - x 12 =0;解得 P 点的坐标为： x P = x 0 + x 1 , y P = x 0 x 1所以△APB 的重心G 的坐标为 x G = x 0 +x 1 +xP = x P ，y 0 + y 1 + y P x 02 +x 12 +x 0x 1 (x 0 +x 1)2 -x 0x 1 4x P - y p解法一：以OA 的斜率k 为参数由kx 2 解得 设△AOB 的重心G (x ，y )，解法二： x = 设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 y = x + x 3 y 1 + y 2 3 1)y G = 031 P = 0 130 1= 0 130 1= 3 ,所以y p =-3y G +4x G2，由点P 在直线l上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：x-(-3y+4x )-2=0,即y = 3(4x -x+2).评析：1. 用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。