j j
结构动力学
mu cu ku e
H (i j )
1 1 2 k i 1 ( ) [ 2 ( )] j n j n
u (t )
3.8 单自由度体系 对任意荷载的反应
总的稳态反应为:
j
p u (t ) H (i ) p e

Tp
0 Tp
p (t )dt p (t ) cos( j t )dt p (t ) sin( j t )dt n 1 ,2 ,3 , n 1 ,2 ,3 ,
4/71

0 Tp
0
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
当用Fourier级数展开法时，隐含假设周期函数是从-∞开 始 到 +∞ 。 初 始 条 件 (t=-∞) 的 影 响 到 t=0 时 已 完全消 失，仅需计算稳态解，即特解。 对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为：


对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得 单自由度体系频域运动方程：
2 2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )

(t )e it dt iU ( ) u


(t )e it dt 2U ( ) u
p
1 2
...
τ
dτ du t 1脉 冲 引 起 的 反 应 du
t
du (t ) p ( )d h(t ) , t
2脉 冲 引 起 的 反 应以前所有脉冲作用下反应 的和：
du t τ时 刻 脉 冲 引 起 的 反 应
. . .
单位脉冲及单位脉冲反应函数
p (t ) P( )
H(i)—复频反应函数，i是用来表示函数是一复 数。 再利用Fourier逆变换，即得到体系的位移解： 1 u (t ) H (i ) P ( )eit d 2 21/71
0
16/71
t
3.8.1 Duhamel积分
u (t ) p( )h(t )d
0
t
3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分 ● 虽 然 在 实 际 的 计 算 中 并 不 常 用 Duhamel 积 分 法，但它给出了以积分形式表示的体系运动的 解析表达式，在分析任意荷载作用下体系动力 反应的理论研究中得到广泛应用。 ● 当外荷载可以用解析函数表示时，采用 Duhamel 积分方法有时更容易获得体系动力反 应的解析解。例如，获得共振时无阻尼体系的 特解。
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bj sin( j t ) : u j
s
b j (1 j 2 )sin j t 2 j cos j t k
1
利用复数Fourier级数得到复数形式的解
用复数Fourier级数将周期荷载展开， 1 Tp i t i t p(t ) p j e j , p j p(t )e j dt , p j p( j ) Tp 0 j 先计算单位复荷载eijt作用下，体系稳态反应的复幅值， i j t 设： u (t ) H (i )e i j t
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1 P ( ) m F F U ( ) u (t ) , P( ) p (t )
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3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法
2 2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法
(0) u
n
sin n t
( ) 0 mu


p(t )dt 1
1 sin[ n (t )] t m n t
0
1 ( ) u m
有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
h(t ) u (t ) 1 e n (t ) sin[ D (t )] t m D t
a j 2 j sin j t (1 j 2 )cos j t k (1 j 2 )2 (2 j )2 (1 j 2 )2 (2 j )2
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2 1 a j (2 j ) b j (1 j ) sin j t k (1 j 2 ) 2 (2 j ) 2 j 1 2 1 a j (1 j ) b j (2 j ) cos j t k (1 j 2 ) 2 (2 j ) 2 j 1
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
设任意的周期荷载p(t)，将其展开成Fourier级数，
p(t ) a 0

j 1

a j cos j t
b
j 1

j
sin j t
j j1 j
a0 aj bj 1 Tp 2 Tp 2 Tp
2 Tp
Tp—荷载的周期
3
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法 Fourier变换的定义为：
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法
U () u(t )e it dt 1 U ()eit d u (t ) 2
U ( ) u (t )e it dt — 正变换 1 U ( )eit d — 逆变换 u(t ) 2
课程主要内容：
单自由度体系对周期荷载的反应
Fourier级数展开法(实数和复数Fourier级数)
第3章 单自由度体系
单自由度体系对任意荷载的反应
单位脉冲反应函数 Duhamel(杜哈曼)积分 Fourier变换法 离散Fourier变换方法—DFT
结构地震反应分析的反应谱法
动力系数(Tn)和地震影响系数(Tn)
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3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。
p
1/ε
τ
ε
t
单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程
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3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
p
3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数

单自由度体系时域运动方程：
(t ) 2 n u (t ) n 2u (t ) u
1 p (t ) m



(t )e it dt iU ( ) u (t )e it dt 2U ( ) u


速度和加速度的Fourier变换为：
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● 杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作 用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。 ● 因为使用了叠加原理，因此它限于弹性范围而不能用 于非线性分析。 ● 如 果 荷 载 p(t) 是 简 单 的 函 数 ， 则 可 以 得 到 封 闭 解 （closed-form）。如果p(t)是一个很复杂的函数，也可 以通过数值积分得到问题的解。 ● 但从实际应用上看，采用数值积分时，其计算效率不 高，因为对于计算任一个时间点t的反应，积分都要从 0 积到 t ，而实际要计算一时间点系列，可能要几百到 几千个点。这时可采用效率更高的数值解法－时域逐 步积分方法，这将在以后介绍。 17/71
3.7 单自由度体系 对周期荷载的反应
阶跃荷载作用下单自由度体系的反应 冲击荷载作用下单自由度体系的反应
矩形脉冲荷载；半正弦脉冲荷载；三角形脉冲荷载
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3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
依靠的基础： 依靠已得到的单自由度体系对简谐荷载反应分析结果。 在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析 单自由度体系对任意周期性荷载的反应，简谐荷载 是一种最简单、最具代表性的周期荷载。 任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和。 具体实施方法： 利用Fourier级数展开法。 将任意的周期荷载p(t)展开成Fourier级数，把任意周 期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简 谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解， 再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反 应。 限制条件： 结构体系是线弹性的。可使用叠加原理。 3/71
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为：
u (t ) u0 a0 k
(u
j 1

c j
u js )
j j / n
a0 : u0 a0 / k
c a j cos( j t ) : u j
j j / n
u (t ) du
0
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t
p( )h(t )d
0
t
u
t 总反应
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3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分
无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式 ：
u (t )
3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分 Duhamel（杜哈曼）积分给出的解是一个由动力荷 载引起的相应于零初始条件的特解。 如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初 始条件引起的自由振动，其解的形式已在前面 给出。 例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件 时，问题的完整解为：
t
p
( ) u
τ
ε
u ( ) 0 1 m
1/ε
1/ε
τ
ε
t
在 t= 时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结 构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获 得一个初速度： 当→0时 ：
无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
h(t ) u (t )
u ( t ) u ( 0 ) cos n t
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