e2 t
n
Jn( x)t n
n
利用母函数可以论证递推公式等证明题
母函数的应用
证明贝赛尔函数的加法公式：
Jn (x y) Jk (x)Jnk ( y) k
W (x, t)
x(t1)
e2 t
n
Jn( x)t n
n
贝塞尔函数的积分表达式
第二类贝塞尔函数具有相同 的递推关系
半奇数阶的贝赛尔函数
J1 (x) ?
2
Jn (x)
(1)m
m0
xn2m 2n2m m!(n
m
1)
J 1
2
(x)
(1)m
m0
1 2m
22
12m
x2 m!(1
m
1)
2
(1 m 1) ? 2
半奇数阶的贝赛尔函数
(1 m 1) ? 2
J1 (x) ?
2m 1 1 2
J1 (x) ?
2
31
2 4 6 2m
J 1 (x)
2
(1)m
m0
(2m
2 x 2 m 1
1)!
x
2
(1)m
x 2 m 1
x m0
(2m 1)!
(2m 1)!
sin x
半奇数阶的贝赛尔函数
J1 (x)
2
2 sin x
x
半奇数阶的贝赛尔函数
同理可证明
J1 (x) 2
则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
dx
dx
d dx
k
(
x)
dy dx
q(
x)
y
(
x)
y
0
勒让德方程的解
y y0 y1
y0
a0 [1
l(l 1) 2!
x2
l(l
2)(l 1)(l 4!
3)
x4
...]
y1
a1[ x
(l
1)(l 3!
J3(x)dx
整数阶贝塞尔函数的母函数
• 函数 W(x,t) 按t展开成幂级数，其系数为所有整数
阶的贝塞尔函数，W(x,t) 称为贝塞尔函数的母函数，
母函数是贝塞尔函数的另一种生成方式
W ( x, t ) Jn ( x)t n n
x(t1)
W (x,t) e 2 t
W (x, t)
x(t1)
d dx
[
xnJn
(
x)]
xnJn1(
x)
ks?
偶数 积分结果中含有
J0 (x)dx
奇数 可全部消去积分号
• 递推公式应用 作业
证明
J
n
1 4
[Jn2
(x)
2Jn
(x)
Jn2
(x)]
d dx
[
J
2 n
(x)]
x 2n
[J
2 n1
(
x)
J
2 n 1 ( x)]
求积分
x5J0 (x)dx
x2J3(x)dx
J1(x)
J0 (x) J1(x) xJ1(x) xJ0 (x)
2 Jn1( x) Jn1( x) x nJn ( x) Jn1( x) Jn1( x) 2Jn ( x)
n 1
2
J0( x) J2( x) x J1( x)
J0( x) J2( x) 2J1( x)
求积分 x5J2 (x)dx
xk Js (x)dx
ks
d dx
[xnJn( x)]
xnJn1( x)
x5J2 (x)dx x2x3J2 (x)dx x2dx3J3(x)
x2 x3J3(x) x3J3(x)dx2 c x5J3(x) 2 x4J3(x)dx c
x5J3(x) 2 dx4J4 (x) c
=- xJ2 (x)-3 J0 (x) 2J1' (x) dx c
=- xJ2 (x) 6J1(x)-3 J0 (x)dx c
xk Js (x)dx
k s?
x5J2 (x)dx J2 (x)dx x2J2 (x)dx xJ3(x)dx
d dx
[xnJn( x)]
xnJn1( x)
Jn(x)
m0
(1)m
xn2m 2n2m m !(n
m
1)
n为偶数时
Jn( x)
(1)m
m0
( x)n2m 2n2m m !(n m
1)
Jn(x) Jn(x)
(1)m
m0
(1)n2m xn2m 2n2m m !(n m 1)
(1)n (1)m
m0
xn2m 2n2m m !(n
J1 (x) ?
2
31
J 1
2
(x)
(1)m
m0
2 x m1
11)
31
J1 (x)
2
(1)m
m0
12m
2x2 2m m!(2m 1)(2m 1)
31
半奇数阶的贝赛尔函数
J1 (x)
2
(1)m
m0
12m
2x2 2m m!(2m 1)(2m 1)
2
(1 m 1) (m 1)(m 1) 3 ( 3)
2
2 2 22
(3) 1 (1) 2 22
(1 m 1) (m 1)(m 1) 3 1 (1)
2
2 2 22 2
半奇数阶的贝赛尔函数
(1 m 1) (m 1)(m 1) 3 1 (1)
2
2 2 22 2
J1 (x) ?
x[
J
2 0
(
x)
J12 (x)]
求积分
x5J2 (x)dx J2 (x)dx x2J2 (x)dx xJ3(x)dx
证明
J
2
(x)
J
0
(x)
1 x
J
0
(
x)
2 Jn1( x) Jn1( x) x nJn ( x) Jn1( x) Jn1( x) 2Jn ( x)
n 1
2 J0(x) J2(x) x J1(x) J0( x) J2( x) 2J1( x)
] !
x[1
x2 22
(1)k
x2k 22k (k !)2
]
d dx
[ xJ1 ( x)]
xJ0
(x)
贝赛尔函数的递推关系
贝赛尔函数的递推公式
d dx
[xnJn( x)]
xnJn1( x)
d dx
[
xnJn
(
x)]
xnJn1(
x)
Jn1( x)
Jn1( x)
2 x
nJn( x)
J
n1
(
x5J3(x) 2x4J4(x) c
求积分 J2 (x)dx
J1' ( x)
J0(x)
2
J2(x)
J1(x) J0(x) J2(x)
x
2
J2 (x) J0 (x) 2J1(x)
J2 (x)dx
J
0
(
x)
2
J1
(
x)
dx
J0 (x)dx 2J1(x) C
x2J2(x)dx
2)
x3
(l
1)(l
3)(l 5!
2)(l
4)
x5
...]
-1 x 1
l 整数
无界
勒让德方程的解
y C 1Pl (x) C2Ql (x) l 整数
Pl (x) 1
无界 -1 x 1
[l]
Pl (x)
2
(1)k
k 0
(2l 2l k !(l
2k)!
xl2k
k)!(l 2k)!
式中
[
l 2
2 cos x
x
半奇数阶的贝赛尔函数
由递推公式可证明
J(n1) (x) 2
2
n1
x2
(
1
d
)n (cos x)
x dx x
Jn1 (x) (1)n 2
2
n1
x2
(1
d
)n (sin x)
x dx x
贝塞尔函数递推公式应用
证明
J2
(x)
J
0
(
x)
1 x
J
0
(
x)
d dx
[x
J0 ( x) J
1 ( x)]
x)
d dx
[ xnJn( x)]
xnJn1(
x)
xJ
n
(
x
)
nJn ( x)
xJn1( x)
J1' ( x)
J0( x) 2
J2(x)
J1(x) J0(x) J2(x)
x
2
2 Jn1( x) Jn1( x) x nJn ( x)
xJn ( x) nJn ( x) xJn1( x) Jn1( x) Jn1( x) 2Jn ( x)
• 贝赛尔方程的引入？
内容回忆
2V 1 V 1 2V V 0 r2 r r r2 2
极坐标系下对 亥姆霍兹方程 进行变量分离
V (r, ) P(r)()
( ) ( ) 0
r2P(r) rP(r) (r2 )P(r) 0
x2 yxx xyx (x2 n2 ) y 0 n阶贝塞尔方程
x)
Jn1(
x)
2
J
n
(
x)