实变函数测试题11、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。

解：()∞=∞→,0lim n n A ；设()∞∈,0x ，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即n A x 2∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得n n A x ∞→∈lim 又显然()∞⊂∞→,0lim n n A ，所以()∞=∞→,0lim n n A 。

φ=∞→n n A lim ；若有n n A x ∞→∈lim ，则存在A ，使任意n N >,有n A x ∈。

因此若21n N ->时，12-∈n A x ，即10x n <<.令∞→n 得00x <≤，此不可能，所以φ=∞→n n A lim 。

2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{}()E x f x c =≥和{}1()E x f x c =≤都是闭集。

证明：必要性：若()f x 是[],a b 上连续函数，由第二章习题8可知1E 和E 是闭集。

充分性：若1E 和E 都是闭集。

若有[]0,x a b ∈，()f x 在0x 点不连续。

则存在()()00000,,n n x x f x f x εε>→≥+，或()()00ε-≤x f x f n ，不妨设出现第一种情况。

令()00ε+=x f c ，则(){}c x f x E x n ≥=∈，而E x ∉0（因为c x f x f =+<000)()(ε），此与E 是闭集相矛盾。

所以()f x 在[],a b 上是连续的。

证毕。

3、设nR E ⊂是任意可测集，则一定存在可测集δG 型集G ，使得E G⊃,且()0=-E G m证：由外侧度定义，对任意正整数n ，存在开集E G n ⊃,使n E G m n 1)(<-，令 ∞==1n n G G ，则G 为δG 型集，E G ⊃且 2,1,1)()(=<-≤-n nE G m E G m n 故0)(=-E G m 。

证毕。

4、设,nA B R ⊂，A B ⋃可测，且()m A B ⋃<+∞，若()**mA B m A m B ⋃=+，则,A B 皆可测。

证明：先证A 可测：存在δG 型集B G ⊃使得B m mG *=。

令A G B A Q ⊂-⋃=。

G G B A B A ⋃-⋃=⋃])[(.()mG mQ mG G B A m B A m +=+-⋃≤⋃])[(。

因为*(),()m A B mG m B m A B ⋃<∞=≤⋃<+∞,A m mG -B m A m mG -B)(A ***=+=⋃≥m mQ ,即A m mQ *≥,又A Q ⊂,所以A m mQ *≤,所以A m mQ *=.*A (A B)m m ≤⋃<+∞，所以.0)(*=-Q A mQ Q A A ⋃-=)(,因为Q 可测，A Q -可测，所以A 可测。

同理可证B 可测。

证毕。

5、写出鲁津定理及其逆定理。

并证明鲁津定理的逆定理。

鲁津定理：设()f x 是E 上a.e.有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E F ⊂δ，使()f x 在δF上是连续函数，且(\)m E F δδ<.逆定理：设()f x 是E 上的函数，对0δ∀>，总存在闭子集E E ⊂δ，使得()f x 在δE 上是连续函数，且()m E E δδ-<，则，()f x 是E 上a.e.有限的可测函数。

证明：对任意1n ，存在闭子集E E n ⊂,使()f x 在n E 上连续且n E E m n 1)(<-,令 ∞=-=10n n E E E ，则对任意n ，有()011n n n mE m E E m E E n ∞=⎛⎫=-≤-< ⎪⎝⎭。

令∞→n ，得∞=∞==⋃=⋃-==001000)()(.0n n n n E E E E E E E mE 。

对任意实数a ，[][][]01n n E f a E f a E f a ∞=⎛⎫>=>⋃> ⎪⎝⎭，由()f x 在n E 上连续，可知[]n E f a >可测，而[]()**000m E f a m E >≤=，所以[]a f E >0也可测，从而[]a f E >是可测的。

因此()f x 是可测的。

因为()f x 在n E 上有限，故在 ∞=1n n E 上有限，所以()f x a.e.有限。

证毕。

6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？证：由已知 则开集G 可写成直线上可列个开集的并集，即 ii i b a G ),(=，()()()i i iiiiE x f x G E x a f x b E x f a E x f b ⎡⎤⎡∈⎤=<<=⎡>⎤⋂⎡<⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则可知[]G x f x E ∈)(是可测集。

由()[]()[]C C F x f x E F x f x E ∈=∈)(，则可知()[]F x f x E ∈也是可测集。

证毕。

7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为13n的构成区间上定义为n （1,2,3,=n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。

证：f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。

设n E 是0P 的余集中长为n 31的构成区间之并，则n n n mE 321-=，因此()[]10,11112()33n n n n E n n n f x dx f x dx nmE n -∞∞∞======⋅=∑∑∑⎰⎰，所以()f x 可积，且积分值为3。

证毕。

8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n En f x dx →∞=⎰则()0n f x ⇒。

证：对任意0>σ，由于n f 非负可知：[][]⎰⎰≥≤≤≥σσσn f E En nn dx f dxx f f mE .)(1().n n EmE f f x dx σσ⎡≥⎤≤⎣⎦⎰因此 1lim lim ()0n n En n mE f f x dx σσ→∞→∞⎡≥⎤==⎣⎦⎰，即.0)(⇒x f n 证毕。

9、设)(x f 是E 上a.e. 有限的可测函数，+∞<mE 。

试证明对0>∀ε，存在E 上a.e. 有界的可测函数)(x g ，使得 ε<>-]0|[|g f mE 。

证：因为()f x 是E 上的a.e.有限的可测函数，设[]∞==f E D ，0mD =，令[]k E E f k =>故有⊃⊃⊃321E E E ∞=∞→==1lim k k k k E E D 所以0lim lim ===∞→∞→mD E m mE k k k k ，故0,0k ∃>∀ε，使得ε<0K mE令g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=000)()(K K E x E E x x f x g 故00K mE f g mE ε⎡->⎤=<⎣⎦。

证毕。

10、求证 120111ln 1()∞==-+∑⎰p n x dx x x p n , (1)p >-。

证：由于∑∑∑⎰⎰∑∑∞=∞=∞=++∞=+∞=+=++==-≥∈=-=-<12020101011)(1)1(11ln 1ln 1x ,0ln x )1,0(,1ln 1ln 1x ,10,x 111n n n p n pn p n p n p n nn p n p dx x x dx x x x x x x x x x 所以时，而当）上，故在（时，证毕。

实变函数测试题21、证明 1lim =n m n n m nA A ∞∞→∞==。

证明：设lim n n x A →∞∈，则N ∃，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞+=∈1n m mAx ∞=∞=⊂1n nm m A ,则可知n n A ∞→lim ∞=∞=⊂1n nm mA。

设 ∞=∞=∈1n n m mAx ，则有n ,使 ∞=∈nm mAx ，所以n n A x lim ∞→∈。

因此，n n A lim ∞→= ∞=∞=1n nm m A 。

2、设(){}222,1E x y x y =+<。

求2E 在2R 内的'2E ，02E ，2E 。

解：(){}222,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+<，(){}222,1E x y xy =+<。

3、若nR E ⊂，对0>∀ε，存在开集G , 使得G E ⊂且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。

证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ⊃，使得()1*m G E n-<。

令 ∞==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n-≤-<， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。

由)(E G G E --=知E 可测。

证毕。

4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ⊂，12mE =。

解：在[0,1]中去掉一个长度为16的开区间57(,)1212，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为1163⨯的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为11163n -⨯的开区间，剩下的n2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为11112121663632n n --+⨯++⨯+=。

所以最后所得集合的测度为11122mE =-=，即12mE =。

5、设在E 上()()n f x f x ⇒，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立， ,3,2,1=n , 则有{()}n f x a.e.收敛于)(x f 。

证明 因为()()n f x f x ⇒，则存在{}{}i n n f f ⊂，使()i n f x 在E 上a.e.收敛到()f x 。

设0E 是()in f x 不收敛到()f x 的点集。

1[]n n n E E f f +=>，则00,0nm E m E==。

因此0()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑。