Reuss 模型：此模型为Reuss 在应力均匀恒定的情况下，相当于各个岩石模块的并联组合，容易得出∑==Ni ii R M M 11φ. 模型如右所示：推导过程：因为有i dV dV =∑，由dV VPM =，则可得到()i i R iP V PV M M ϕ=∑又因为假设岩石内应力各向相同，则容易得出∑==N i ii RMM 11φ，即可得出岩石体积模量的最小值。

Voigt 模型：此模型为Voigt 在岩石中各矿物的应变均匀情况下，相当于岩石模块的串联组合，容易得出V iiM Mφ=∑. 模型图如右所示：推导过程：因为有i i P P φ=∑，同理dVP MV=，即有i Vi idV dV M M V V φ=∑，又因为假设岩石中各矿物的应变均匀相同即i idV dV φ=，即可得∑=i i V M M φ，即可得出岩石体积模量的最大值。

Wyllie 模型：此模型为Wyllie 在沉积岩中发现孔隙度和速度之间的简单单调关系，即完全理想情况，岩石各向同性即可得出岩石速度f f iMi W νφνφν+=∑，则可得出岩石的平均速度，然后根据体积模量和速度的关系即可得出岩石的集体模量W M . 模型图如右：Hill 模型：Hill 模型为Hill 提出用上下边界求平均值的方法来对岩石有效弹性模量进行切合实际的评价即可得出2R VH M M M +=.Reuss、Voit和Hill模型所得体积模量对比Reuss、Voit和Hill模型所得剪切模量对比孔隙流体为水，泥质和石英各为占一半的岩石体积模量界限值对比Qua:Cla=1:1Qua:Cla=7:3孔隙流体为水，泥质和石英占骨架比7:3和1:1的岩石体积模量界限值对比孔隙流体为水，泥质和石英各为占一半的岩石体积模量界限值对比（下面两条无意义）孔隙流体为空气，泥质和石英各为占一半的岩石体积模量界限值对比Gassman 方程：主要讨论岩石体积模量在不同压力下的不同值。

假设条件：①岩石是均质的（homogeneous ）。

②所有孔隙是连通的（总有效φφ=）。

③所有孔隙充满流体（φ*总V V f =）。

④研究对象岩石流体系统为闭系。

⑤孔隙流体与骨架之间不产生理化作用。

假设：岩石基质（矿物）密度为m ρ，体积模量为m K ；干岩石骨架的密度和体积模量分别为d d K 和ρ（不一定没有流体，只是没有可流动流体）；孔隙流体的密度和体积模量分别为f f K 和ρ。

如果含流体岩石各方面受压增量为zz yy xx p p p p -=-=-=∆，骨架和流体受压增量分别f p d +d -=f m ∆=流体体积变化量与流压变化之间的关系为fff K p V V ∆-=∆φ流体压强引起的固体收缩mfm K p VV ∆--=∆)1(1φ骨架体积变化引起岩石体积变化mdm K p VV ∆-=∆2则岩石体积的总变化为：md f m m K p p V V V ∆-∆∆+∆+∆∆(21 （1）p ∆f d 变化分别为：ddK p VV ∆-=∆1，由于流体受力，所以岩石骨架的体积跟随变化mfK p VV ∆-=∆2所以：mf d d K p K p V V∆-∆-=∆ （2）体积模量*pK V V∆=-∆ （3） 又因为f d p p p ∆+∆=∆ （4）由上可得()()d m f d f f m d K K K p p K K K φ-∆=∆-，由（1）—（4）式可得各式可得出含流体岩石的体积模量（即孔隙流体对岩石体积模量的影响）为)()()()(*f m m d m f d m f m f m d m K K K K K K K K K K K K K K K -+--+-=φφ， （5）即221211*)1(1m dmfmd m dmfm fd KK K K K K d KK K K d K K K K K K -+-+=-+-+=--+φφφφφφ （6）通过简单变形可得以下结果Q K Q K K K m d m++=* 其中 )(f m dm f K K K K K Q --=φ)(**fm fd m d d K K K K K K K K K-+-=-φ，以及φφφφ--+--+=1)1(**mf mmfmd K K K K K K K K K由于剪切模量不受岩石内的流体影响，所以d G G =*. 其中f K 按Wood's 方程计算：∑=ii f K S K 1，i S 和i K 分别为不同流体组分的体积分数和体积模量，f K 为岩石孔隙内流体的平均体积模量. 其中d K 由实验室测量干岩石岩心的纵横波速度而得【注：此干岩石是指含有残余饱和流体的岩心，不是过度干燥的岩心】，根据岩石的纵横波速度公式dds G ρν=，ddd p G K ρν34+=容易得到)34(22s p d d v K νρ-=，2s d d G νρ=，d ρ根据已知可得，如果岩石的有效孔隙度比较高（绝对孔隙度与有效孔隙度比较接近时），忽略残余流体，m d ρφρ)1(-=. 如果残余流体的比率较大，则修正即为f l m a d ρφρφρ+-=)1(. 这样可以估算出孔隙流体对岩石体积模量的影响。

其中其他的参量按照一般规律计算.关于Gassman 方程中骨架（Matrix ）模量的计算11()0()0Ni i b i i N i i b i i C K K P C K K Q ==⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∑∑43(98),,436(2)b b b b b b b i i bi b i b b b K F K P Q F K F K μμμμμμμ+++===+++球粒 i C 为第i 种组分的体积分数，i P 和i Q 为与组分几何形状有关的函数。

Boit 理论：两个假设：1 波长远大于气孔及气孔间距（低频） 2 气孔间无相互作用Biot 理论考虑了多孔介质联通孔隙中流体的运动并预测接种存在的3种体波，2种膨胀波和一种剪切波，同时Boit 理论指出类比致密弹性理论，流体填充多孔介质的单位体积应变势能可用一个二次方程表示，对于典型的多孔渗流系统，流体的流动并不统一，并不是完全按宏观压力梯度的方向流动。

一些参数符号意义：ˆY是取决于流体密度粘度和孔隙几何形状等的算符。

u 为骨架位移。

w 为孔隙流体的位移。

下标,,s f m 分别代表矿物、流体和骨架。

η流体粘度。

κ气饱和孔隙为渗透率。

fρξζφ=为质量耦合系数（1ζ≥为与孔隙结构和流场有关的常数）。

423H K λμμ=+=+为平面波模。

11m s K K γβ=-=-，1[()]2s s f f K D K K K φγ-=+-为visco-elastic 算子。

,λμ为拉梅常数，,K ρ及含下标的均为密度和体积模量。

φ为孔隙度。

根据引力应变关系式正应力2x x e e σλμ=+，切应力y zx x u u zyτμγ∂∂=+=∂∂，又因为岩石中流体的存在，所以流体的形变对应力有贡献，但仅仅是对正应力有贡献，假设应力应变系数为Q ，222x x y y z z x xy y z z e e Q e e Q e e Q s Qe R σμλεσμλεσμλετμγτμγτμγε=++=++=++⎧⎪⎨====+⎪⎩ （1）其中,,,,,y y x xz z z x y z x y u u u u u u u e e e x y z z y x z γγ∂∂∂∂∂∂∂====+=+∂∂∂∂∂∂∂,y x z u u y x γ∂∂=+∂∂ ,x y z e e e e u w ε=++=∇⋅=∇⋅，s p α-=为各界面围压对应岩石内流体的压力，其中α为岩石切片孔隙面积所占比，当薄片厚度很小时可以认为αφ≈.P对于单位体积的岩石的动能（流体的流速并不是统一的），22112[()()y x u u T t t ρ∂∂=+∂∂ 22221222()]2()[()()+()]y y y x x x z z z z u w w u w w u u w wt t t t t t t t t tρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂令广义坐标为,,,,,,x y z x y z u u u w w w 则根据力学系统的Lagrange函数(,i i i d L LQ dt q q ∂∂-=∂∂1Nm i m iF Q q =∂=∂∑)可得：211122()x x x x T u w q t u t ρρ∂∂∂=+=∂∂∂，212222()x x x x T u w Q t w t ρρ∂∂∂=+=∂∂∂， （2）其中,x x q Q 为广义力。

探讨111222,,ρρρ的关系，如果流体无相对运动则有，221112222(2)x x T u u ρρρρ=++=, 即可得到1112222()s f s ρρρρρφρρ++==+-， （3）Srds ⎰2Φ同样对于单位流体由牛顿第二定律可得22x f u px t φφρ∂∂-=∂∂，即左边为对应广义力则由（2）式可得1222f φρρρ=+，同时由（3）式得1112()(1)s f s f s ρρρφρρφρρφ+=+--=-，从动能方程中容易看出，12ρ为固液质量耦合系数，即12ρξ=。

12221112(1)f s φρρρρφρρ=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩可得1122(1)s f ρρφβρφρβ=--⎧⎪⎨=-⎪⎩. 由（2）式明显可以得出x Q 为流体所受x 方向的广义力, x q 为岩石骨架所受x 方向的广义力。

则根据广义力的定义可得到yx z x x q x y zs Q x τστ∂⎧∂∂=++⎪⎪∂∂∂⎨∂⎪=⎪∂⎩（x 分量） （4） 将（4）式代入（2）式可得211122212222()()y x z x x x x u w xy z t s u w x t τστρρρρ∂⎧∂∂∂++=+⎪∂∂∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩（x 分量形式） （5） 将（1）式代入（5）式可得2111222()y x z x x e e Q u w x x x y z t γγεμλμμρρ∂∂∂∂∂∂++++=+∂∂∂∂∂∂即22222222222y y x x x z zu w u u w u w Q Q Q x x x y x z x x y x z μλμμ∂∂∂∂∂∂∂++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222y x u u y x yμμ∂∂++∂∂∂ 2222111222()()x z x x x x u u u e e Q w u w x z z x x x tμμμλμρρ∂∂∂∂∂∂++=∇+++∇⋅=+∂∂∂∂∂∂∂ （6）联合y 和z 分量即得211122211122()()()()()()()()u u Q w u w tQ u R w u w t μλμρρρρ⎧∂∇∇⋅++∇∇⋅+∇∇⋅=+⎪⎪∂⎨∂⎪∇∇⋅+∇∇⋅=+⎪∂⎩（7） 2()ij ij ij j T e u M u P M u M u μδλαα=-∇⋅+∇⋅⎧⎪⎨=-∇⋅-∇⋅⎪⎩ * ij T 为总应力，f P 为流体压力，1()2ji ij j iu u e x x ∂∂=+∂∂， 利用牛顿运动定律，ˆ()ijb i f f jf f i i i T u w x P u Y wx ρρρρ∂⎧=+⎪∂⎪⎨∂⎪--=⎪∂⎩， &将*式代入&式得，22222222()2()2()2()b f f u wH u D w t tu w wm D u D w t t tρργηργκ⎧∂∂+=∇∇⋅+∇∇⋅⎪⎪∂∂⎨∂∂∂⎪+=∇∇⋅+∇∇⋅-⎪∂∂∂⎩ Hashin-Shtrikman 边界如果由两种介质组成的一种岩石，它们的拉梅常数分别为00,,,G G λλ，相应的应力应变为00,,σσεε和，则据应力应变公式有00000002()2()kkij ij ij ij ij kk ij ij ij G L G L σλεδεεσλεδεε=+==+= （1）001()2j i ij j iu u x x ε∂∂=-∂∂ （2）应力极性张量*ij p0()ij ij ij L p σε=+ （3）定义相对运动位移0i i i u u u '=- （4）即由此可得ijij ij εεε'=- （5） 那么关于ijε'和ij p 的变分原理便可构造，能量的体积分 0102[()2]p ij ij ij ij ij ij U U p H p p p dV εε'=---⎰（6） 其中0U 为介质0的应变势能即00102ij ij U dVσε=⎰ （7） 同时受附加条件限制301()[]0ij ij j jjL p x x ε='∂∂+=∂∂∑ （8）算符H 为10(),H L L -=-同时有边界条件()0i u S '= （9）由（1）式和（3）式得0()()ij ij ij p L L εε=- （10）矩阵H 的逆代入可得20001()6()()2()ij ij kk ij ij p H p p p p G G K K G G λλ-=-+--- （11）其中K 为体变模量23K G λ=+，将（1）式和（2）式代入（8）式可得222002[()]0jij i i j i j j i j ju p u u G x x x x x p λ'∂∂''∂∂+++=∂∂∂∂∂∂∑ （12） 即220002[()]0ij i i ji j j j p u u G G x x x p λ∂''∂∂+++=∂∂∂∂∑ (13) 然后根据p U 的表达式可得当两种介质的弹性常数满足00,G G λλ>>时0U 有最大值，反之00,G G λλ<<时p U 具有最小值。