等腰三角形一、选择题1．（2018?山东枣庄?3 分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A．2 个B． 3 个C．4 个D．5个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选：B．点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P 是解题的关键．2 2018?山东枣庄?3 分）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）分析】根据三角形的内角和定理得出∠ CAF+∠CFA=90°，∠ FAD+∠AED=90°，根据角平分和对顶角相等得出∠ CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，C．A．B．∴∠CDA=9°0 ，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠ FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=C，F∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，==∵AC=3，AB=5，∠ ACB=90°，∴BC=4，FC=FG，解得：FC= ，即CE ．故选：【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．3. （2018?山东淄博?4 分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C 的距离分别为3，4，5，则△ ABC的面积为（）三角形的内角和定理以及相考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．分析】将△ BPC绕点B逆时针旋转60°得△ BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△ BPE 为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△ AEP 中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP 于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△ APE 为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠ APB 的度数，在直角△ APF 中利用三角函数求得AF和PF 的长，则在直角△ ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．【解答】解：∵△ ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△ BPC绕点B逆时针旋转60°得△ BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=，4 ∠ BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，222∴AE2=PE2+PA2，∴△ APE为直角三角形，且∠ APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°∴∠APF=30°，【点评】 本题考查了等边三角形的判定与性质、 勾股定理的逆定理以及旋转的性质： 旋转前 后 的两个图形全等， 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角， 对应点到旋转中心的距 离相 等．4. （2018?江苏扬州?3 分）如图，点 A 在线段BD 上 ，在 BD 的 同侧做等腰 Rt △ABC 和等 腰Rt △ADE ， CD 与 BE 、AE 分 别交于点 P ，M ．对于下列结论：12）通由等过等腰积Rt 式△倒A 推BC 可和 知等，腰证R 明t △ADPE 三A M ∽边△份E 数M 关D 系即可可证；23）2CB 2 转化为 AC2，证明△ ACP ∽△ MCA ，问题可证．解答】解：由已知： AC= AB ，AD= AE∴∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE ∽△CAD所以①正确 ∵△BAE ∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠ PME ∠= AMD ∴△PME ∽△AMD∴∴ ∴MP?MD=MA?ME 所以②正确 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME ∠= AMD ∴P 、 E 、 D 、 A 四 点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=18°0 ﹣∠ BAC ﹣∠EAD=90°∴△CAP ∽△CMA∴AC 2=CP?CM∵AC= AB∴在直角△ APF AP= ， PF= AP= ．∴在直角△ ABF ) +△ABC ?AB 2=)2=25+12 ?(25+12则 故选： A ．所以③正确故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．（2018·湖南省常德·3 分）如图，已知BD是△A BC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B． 5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ ED 是BC的垂直平分线，∴DB=D，C∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=，6∴ CE=CD× co s∠ C=3 ，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC中，BC>AB>AC，甲、乙两人想找一点P，得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；（乙）作过B点且与AB垂直的直线l ，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）C．甲正【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠ APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=18°0 ，根据等量代换可作判断；乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如图1，∵ AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=18°0 ∴∠ BPC+∠ACP=18°0 ，∴甲错误；乙：如图2，∵ AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正确，故选：D．【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．7．（ 2018?湖北荆门?3分）如图，等腰 Rt △ABC 中，斜边 AB 的 长为 2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点， OQ ⊥OP 交BC 于 点Q ，M 为 PQ 的 中点，当点 P 从点A 运动到点 C 时，点M 所经过的路线MH ⊥AB 于 H ，QF ⊥AB 于F ，如图，利用等腰直角三角形 的性质得 ，∠A=∠B=45°，OC ⊥AB ， OC=OA=OB ，=1∠ OCB=4°5 ，再证明 Rt △AOP∵O 为AB 的 中点， ∴OC ⊥AB ， OC 平 分∠ACB ， OC=OA=OB ，=1∴∠ OCB=4°5 ， ∵∠POQ=9°0 ，∠ COA=9°0 ， ∴∠AOP=∠COQ ， 在Rt △AOP 和△COQ 中，∴Rt △AOP ≌△COQ ， ∴AP=CQ ，易得△ APE 和 △BFQ 都为等腰直角三角形，≌△ COQ 得 到 AP=CQ ，接着利用△ APE 和△ BFQ 都为等腰直角三角形得到 AP=CQ ， QF= BQ ， 所以 BC=1，然后证明 MH 为 梯形 PEFQ 的 中位线得到 AB ，从而得到点 M 的运动路线为△ ABC 的中位线， 所经过的，即可判定最后利用三角形中位 线性质得到点 M 【解答】解：连接 OC ，作 PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图， ∵△ACB 为到等腰直角三角形，1 D ． 2，∠A=∠B=45°，∴MH为梯形PEFQ的中位线，CO=1，∴点M的运动路线为△ ABC的中位线，点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨8. （2018?河北?3 分）已知：如图 4 ，点P在线段AB 外，且PA PB .求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上. 在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不．正确的是（）A．作APB 的平分线PC 交AB 于点C B．过点P 作PC AB 于点C 且AC BC C.取AB 中点C ，连接PC D．过点P作PC AB ，垂足为CAP= CQ，QF= BQ，CQ+BQ) = B∴PE=∴PE+QF=∵M点为PQ的中点，C= ×=1，∴MH= PE+QF）=即点M到AB ，∴当点P 从点 A 运动到点 C 时，点M AB=1．故迹．也考查了等腰直角三角形的性质．9. （2018 四川省绵阳市）如图，△ ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点 A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，腰直角三角形A.C.答案】 D解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，∵△ ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=9°0 ,∠ADC=∠CAB=45°, 即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ECA中，∴△DCB≌△ECA，∴DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt △ABD中，∴AB= =2 ，在Rt △ABC中，∴2AC2=AB2=8，∴AC=BC=，2在Rt △ECD中，∵∠ACO∠= DCA，∠ CAO∠= CDA，∴△CAO∽△CDA，∴CH=∴=（4-2 ）× =3- .即两个三角形重叠部分的面积为3-故答案为： D.【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ ACB=∠ECD=9°0 , ∠ADC=∠CAB=45°, 再由同角的余角相等可得∠ DCB=∠ACE；由SAS 得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA= , ∠CDB=∠E=45°, 从而得∠ ADB=90°，在Rt△ABD 中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=2，CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△ CAO∽△ CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积. 二. 填空题1．（2018四川省泸州市 3 分）如图，等腰△ ABC的底边BC=20，面积为120，点 F 在边BC 上，且∴2CD2=DE2= ，∴ CD=CE= +1，∴：=又∵ = CE = DE·CH，∴ = AD·CH= × ×=4-2 ，BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△ CDF周长的最小值为18 ．【分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=D，C推出DF+DC=AD+D，F 可得当A、D、F 共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF 的长；【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=D，C∴DF+DC=AD+，DF∴当A、D、F 共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵ ?BC?AH=12，0∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=1，0∵BF=3FC，∴CF=FH=，5∴AF= = =13，∴DF+DC的最小值为13．∴△ CDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．2. （2018?广西桂林?3 分）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ ABC，则图中等腰三角形的个数是详解：∵ AB=AC，∴△ ABC 是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠ C=∠ABC=72°．BD 平分∠ ABC交AC于D，∴∠ ABD=∠DBC=3°6 ，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．3. （2018·新疆生产建设兵团·5 分）如图，△ ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O 的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ ABC是等边三角形，∴∠ C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=∠2 C=120°，∴阴影部分的面积是= π ，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．4. （2018·四川宜宾· 3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径为1，若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，则S= 2 ．（结果保留根号）【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．【分析】根据正多边形的定义可得出△ ABO 为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM 的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=，1 ∴BM=AM= ，，∴AB，∴S=6S△ABO=6×1=2【点评】本题考查了正多边形和圆、 三角形的面积以及数学常识， 根据等边三角形的性质求 出 正六边形的边长是解题的关键．∴DE ∥AC ， DE=AC 边∵长Δ ABC 是 等边三角形，且 BC=4 为∴∠DEB=60°,DE=2 ∵EF ⊥AC ，∠C=60°,EC=24∴∠ FEC=30°， EF=∴∠DEG=18°0 - 60° - 30°=90°，分别为 的中点 则 的长为∵G 是EF 的 中点， ∴EG= .天津【解析】 分析：连接 DE ，根据题意可得 ΔDEG 是 直角三角形， 的长.然后根据勾股定理即可求解 DG于点，为 的中点，连接故答案为： 2 ．在RtΔDEG中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键6．（2018·湖北省武汉· 3 分）如图．在△ ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点， E 是边BC上一点．若DE平分△ ABC的周长，则DE的长是．【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到AM，根据等腰三角形的性质求出∠ ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=E，B 又AD=DB，∴DE= AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=12°0 ，∵CM=C，A ∴∠ ACN=6°0 ，AN=MN，∴AM= ，∴AN=AC?sin ∠ACN故答案为： ．【点评】 本题考查的是三角形中位线定理、 等腰三角形的性质、 解直角三角形，掌握三角形中 位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．”或 答案】解析】如下图所示，△ AFG 是等腰直角三角形，∴ FAG BAC 45 ，∴ BAC DAE ． 另：此题也可直接测量得到结果．考点】等腰直角三角形8. （2018?江苏盐城 ?3 分）如图，在直角 中， ， ， ，、分别为边 、 上的两个动点， 若要使 是等腰三角形且 是直角三角 形， 则．16. 【答案】7．（2018?北京?2分）右图所示的网格是正方形网格， BAC DAE ．（填“或【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：当△ BP是Q直角三角形时，有两种情况：∠ BPQ=90度，∠ BQP=90度。