f (x)dx — 被积表达式.
例如,
f(x)dxF(x)C ( C 为任意常数 )
exdx exC
C 称为积分常数,
x2dx
1 3
x3
C
不可丢 !
sinxdx co x C s
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不定积分的几何意义:
f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
因此问题转化为:
已知
v(t)
Asint
m
,求
m
v(t)?
m
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足 F(x)f(x)或 d F (x )f(x )d x ,则称 F (x) 为f (x)
在区间 I 上的一个原函数 .
如引例中, A sin t 的原函数有 A cos t, Acost3,
定理 2. 若F(x)是f(x)的一个原, 则 函f (数 x)的所有
原函数都在函数族 F(x)C( C 为任意常数 ) 内 .
证: 1) (F(x)C )F(x)f(x) F(x)C是f(x)的原函数
2)设(x)是f(x)的任一原 ， 即 函数
(x)f(x)
又知
F(x)f(x)
[(x ) F (x )] (x)F (x)f(x )f(x ) 0
m
m
m
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 若函 f(x数 )在区 I上 间 连 , 则续 f(x)在I上
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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例3. 求
dx x3 x
.
解: 原式 =
x
4 3
dxΒιβλιοθήκη x4 31
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求 si2 n xco2 xsdx. 解: 原式= 12sinxdx 1 2coxsC
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三、不定积分的性质
1.
(1)[f(x)dx]f(x)或 d[ f(x)dx]f(x)dx.
证明：
即 积 分 与 求 导 二 者 作 用 抵 消 .
f(x)dxF(x)C
乘积关系
f ( x ) d x F(x)CF(x)f(x)
(2 )F (x)d xF (x) C 或
d F (x ) F (x )d x F (x ) C
问题: 求导运算是否有逆运算?
它的逆运算是什么？ 讨论其逆运算的意义何在？ 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是 一种形式运算，在实际应用中是很有用的。
例如:1、已知物体的运动规律，即路程函数，求物体的瞬时速度; 2、已知曲线，求它的切线的斜率。 如果我们讨论的是反问题: 已知物体运动的瞬时速度，即速度函数，求物体的运动
y
f (x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
O
x0
x
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例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解: y2x
y2xdxx2 C
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
212C C1 因此所求曲线为 yx2 1
y
(1,2)
积分法: (?)f(x)
第一节
第四章
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力 FAsint的作
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度 v(t).
根据牛顿第二定律, 加速度 a(t) F A sin t
规律，即路程函数；
已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。
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一般地：
反导数 F ( x )
F(x)f(x)
积分学
已知 f (x)
--------两个相反的问题
导数f (x) 微分学
我们把求导的逆运算称为不定积分。
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第四章
不定积分
微分法: F(x)(?) 互逆运算
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t )
x
xx(t)
x0x(0)
O
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先求 v(t). 由 d v g , 知 dt
v(t)(g)dtgtC1
x
xx(t)
由 v(0)v0,得 C1v0,故
v(t) gtv0
再求
x(t).
(2) xdx11x1C (1)
(3)
dx x
lnx
C
x 0时 (ln x) [ln x )( ] 1
x
(4)
dx 1x2
arcx tC an或
ac rx c o C t
(5)
dx arcx sC in 或 ac rx o c C s
1x2
(6) coxdsxsixnC
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由
dx dt
v(g t )tv0,知
x0x(0)
O
x(t)( gtv0)dt1 2gt2v0tC 2
由 x(0)x0,得 C2x0,于是所求运动规律为
x (t) 1 2gt2 v 0 t x 0
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二、 基本积分表 (P188)
利用逆向思维
(1) kdx kxC ( k 为常数)
(7) sixndx co x C s (8) codsx2xse2cxdx taxn C (9) sidn2xx cs2cxdx co x C t (1)0sextcaxd n xsex cC
(1)1csxcco xdxt cs x c C
(1)2 exdxexC
(1)3 axdx a x C ln a
O
x
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例2. 质点在距地面x 0 处以初速 v 0 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
设时刻 t 质点所在位置为 xx(t), 则
dx v(t)
故
(x)F (x) C 0(C0为某个常)数
它属于函数族 F(x)C.
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定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I
上的不定积分, 记作 f(x)dx, 其中
— 积分号;
x— 积分变量;
若 F (x)f(x),则
f (x) — 被积函数;
(P185)