6.4 离散系统的数学模型为了研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。

本节主要介绍线性定常离散系统的差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开、闭环脉冲传递函数的方法。

6.4.1 差分方程及其解法1. 差分的概念设连续函数为，其采样函数为，简记为，则一阶前向差分定义为()e t ()e kT ()e k ()(1)()e k e k e k Δ=+− (6-32)二阶前向差分定义为2()[()][(1)()](1)()(2)2(1)(e k e k e k e k e k e k e k e k e k ΔΔ=Δ=Δ+−=Δ+−Δ=+−++)1− (6-33) n 阶前向差分定义为1()(1)()n n n e k e k e n −Δ=Δ+−Δ (6-34)同理，一阶后向差分定义为()()(1)e k e k e k ∇=−− (6-35)二阶后向差分定义为2()[()][()(1)]()(1)()2(1)(2)e k e k e k e k e k e k e k e k e k ∇=∇∇=∇−−=∇−∇−=−−+− (6-36) n 阶后向差分定义为11()()(1)n n n e k e k e n −−∇=∇−∇− (6-37)2. 离散系统的差分方程 对连续系统而言，系统的数学模型可以用微分方程来表示，即**00d ()d ()d d i j n m ij i i j c t r t a b t t ===∑∑j (6-38) 式中，分别表示系统的输入和输出。

如果把离散序列，看成连续系统中，的采样结果，那么式（6-38）可以化为离散系统的差分方程。

()r t ()c t ()r k ()c k ()r t ()c t 设系统采样周期为T ，当T 足够小时，函数在()r t t kT =处的一阶导数近似为()[(1)]()r kT r k T rkT T−−≈& 可简写为 ()(1)()()r k r k r k rk T T−−∇≈=& (6-39) 同理，可以写出二阶导数22()2(1)(2)()()r k r k r k r k r k T T −−+−∇≈&&2=) (6-40) 如此，可以一直写出n 阶导数。

同样方法，输出的各阶导数也能写出。

所以，离散系统的输入、输出特性可用后向差分方程表示，其一般表达式为()c t 00()(n m i ji j a c k i b r k j ==−=∑∑−) (6-41) 也可以用前向差分方程表示，其一般表达式为00()(n mi ji j a c k i b r k j ==+=∑∑+ (6-42) 前向差分方程和后向差分方程并无本质区别，前向差分方程多用于描述非零初条件的离散系统。

后向差分方程多用于描述零初条件的离散系统。

若不考虑初始条件，就系统输入、输出关系而言，两者完全等价。

差分方程是离散系统的时域数学模型，相当于连续系统的微分方程。

3. 差分方程求解差分方程的求解通常采用迭代法和z 变换法。

（1） 迭代法迭代法是一种递推方法，适合于计算机递推运算求解。

若已知差分方程式(6-41)或式(6-42)，并且给定输入序列以及输出序列的初始值，就可以利用递推关系，逐步迭代计算出输出序列。

例6-11 已知二阶连续系统的微分方程为()4()3()()1()()0(0)c t c t c t r t t c t t −+===≤&&& 现将其离散化，采样周期，求相应的前向差分方程并解之。

1T = 解 取()()()c k c k c kT T Δ=Δ≈&,222()()()c k c k c kT TΔ=Δ≈&&代入原微分方程，得 2()4()3()(2)6(1)8()()1()c k c k c k c k c k k r k k Δ−Δ+=+−++== 即(2)6(1)8()1(c k c k c k k +=+−+)根据上式确定的递推关系以及初始条件()0,0c k k =≤，可以迭代求解如下：1:(1)6(0)8(1)1(1)00:(2)6(1)8(0)1(0)11:(3)6(2)8(1)1(1)72:(4)6(3)8(2)1(2)35=−=−−+−===−+===−+===−+M Mk c c c k c c c k c c c k c c c =0 （2） 变换法z 设差分方程如式(6-42)所示，对差分方程两端取变换，并利用变换的实数位移定理，得到以为变量的代数方程，然后对代数方程的解C 取反变换，可求得输出序列c 。

z z z )(z z )(k 例6-12 试用变换法解下列二阶线性齐次差分方程：z (2)2(1)()c k c k c k +−++=设初始条件。

1)1(,0)0(==c c 解 对差分方程的每一项进行变换，根据实数位移定理，有z z z C z zc c z z C z k c Z −=−−=+)()1()0()()]2([222)(2)0(2)(2)]1(2[z zC zc z zC k c Z −=+−=+−)()]([z C k c Z =于是，差分方程变换为关于的代数方程z z z C z z =+−)()12(2 解出22)1(12)(−=+−=z z z z z z C 查变换表，求出反变换 z z ∑∞=−=0*)()(n n t n t c δ 6.4.2 脉冲传递函数脉冲传递函数是离散系统的复域数学模型，相当于连续系统的传递函数。

1. 脉冲传递函数的定义图6-9所示为典型开环线性离散系统结构图。

图中，是系统连续部分的传递函数，连续部分的输入是采样周期为T 的脉冲序列，其输出为经过虚设开关后的脉冲序列，则线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为，在零初始条件下，系统输出序列变换与输入序列变换之比，记作()G s )(*t r )(*t c zz **[()]()()[()]()Z c t C z G z Z r z R z == (6-43) 这里，零初始条件的含义是，当0<t 时，输入脉冲序列值以及输出脉冲序列值L ),2(),(T r T r −−L ),2(),(T c T c −−均为零。

式(6-43)表明，如果已知和，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为)(z R )(z G *11()[()][()()]c t Z C z Z G z R z −−==应当明确，虚设的采样开关假定是与输入采样开关同步工作的，但它实际上不存在，只是表明脉冲传递函数所能描述的只是输出连续函数在采样时刻的离散值。

如果系统的实际输出比较平滑，且采样频率较高，则可用近似描述。

)(t c )(*t c )(t c )(*t c )(t c 2. 脉冲传递函数的性质与连续系统传递函数的性质相对应，离散系统脉冲传递函数具有下列性质：（1） 脉冲传递函数是复变量z 的复函数（一般是有理分式）； （2） 脉冲传递函数只与系统自身的结构参数有关；（3） 系统的脉冲传递函数与系统的差分方程有直接联系；（4） 系统的脉冲传递函数是系统的单位脉冲响应序列的z 变换；（5） 系统的脉冲传递函数在z 平面上有对应的零、极点分布。

3. 由传递函数求脉冲传递函数传递函数的拉氏反变换是系统单位脉冲响应函数，将离散化得到脉冲响应序列，将进行变换可得到，这一变换过程可表示如下： )(s G )(t k )(t k )(nT k )(nT k z )(z G1*0()[()]()()()()[()]()δ∞−=⇒=⇒=−⇒=∑n G s L G s k t k t k nT t nT Z k t G z 离散化*上述变换过程表明，只要将表示成变换表中的标准形式，直接查表就可得。

)(s G z )(z G 由于利用z 变换表可以直接从得到，而不必逐步推导，所以常把上述过程表示为，并称之为的变换。

这一表示应理解为根据上述过程求出所对应的，而不能理解为是对直接进行)(s G )(z G )]([)(s G Z z G =)(s G z )(s G )(z G )(z G )(s G Ts z e =代换的结果。

例6-13 采样系统结构图如图6-9所示，采样周期T =1，其中1()(1)G s s s =+图6-10 零、极点图⑴ 求系统的脉冲传递函数；⑵ 写出系统的差分方程；⑶ 画出系统的零、极点分布图。

解 ⑴ 系统的脉冲传递函数为 1121111(1)()[[(1)1(1)()0.6320.6321.3680.3681 1.3680.368T T T e z G z Z Z s s s s z z e z z z z z −−2z =−−−−==−=++−−==−+−+⑵ 根据 211368.0368.11632.0)()()(−−−+−==z z z z R z C z G ，有 )(632.0)()368.0368.11(121z R z z C z z −−−=+−等号两端求反变换可得系统差分方程z () 1.368(1)0.368(2)0.632(1)c k c k c k r k −−+−=−1=⑶ 系统零点，极点。

系统零极点图如图6-10所示。

0z =112,p e p −=6.4.3 开环系统脉冲传递函数当开环离散系统由几个环节串联组成时，由于采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会不同。

1. 串联环节之间无采样开关时设开环离散系统如图6-11所示，在两个串联连续环节和之间没有采样开关隔开。

此时系统的传递函数为)(1s G )(s G 2)()()(21s G s G s G =图6-11 环节间无采样开关的串联离散系统将它当作整体一起进行z 变换。

由脉冲传递函数定义，有[])()()()()()(2121z G G s G s G Z z R z C z G === (6-44) 式(6-44)表明，没有采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的变换。

这一结论可以推广到个环节相串联时的情形。

z n 2. 串联环节之间有采样开关时设开环离散系统如图6-12所示，在两个串联连续环节之间有采样开关。

图6-12 环节间有采样开关的开环离散系统根据脉冲传递函数定义，有,)()()(1z R z G z D = )()()(2z D z G z C =其中，和分别为和的脉冲传递函数。

于是有)(1z G )(2z G )(1s G )(2s G)()()()(12z R z G z G z C =因此，开环系统脉冲传递函数)()()()()(21z G z G z R z C z G == (6-45) 式(6-45)表明，由采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积。