第1-3讲 二次函数全章综合提高【知识清单】 ※一、网络框架※二、清单梳理1、一般的，形如2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。

例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。

注意：系数a不能为零，,b c 可以为零。

2、二次函数的三种解析式（表达式）2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。

在对称轴右边（即）,随的增大而增大。

增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。

在对称轴右边（即）,随的增大而减小。

二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

开口方向：，开口向上；，开口向下。

图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪<>⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<>⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边（即-）,随的增大而减小。

在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。

当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。

在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。

待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩①一般式：2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数②顶点式：2()(,,0)y a x h k a h k a =-+≠为常数，且，顶点坐标为(,)h k③交点式：1212()()(0,,)y a x x x x a x x x =--≠其中是抛物线与轴的交点的横坐标 3、二次函数的图像位置与系数,,a b c 之间的关系 ①a ：决定抛物线的开口方向及开口的大小。

当0a>时，开口方向向上；当0a <时，开口方向向下。

||a 决定开口大小，当||a 越大，则抛物线的开口越小；当||a 越小，则抛物线的开口越大。

反之，也成立。

②c ：决定抛物线与y 轴交点的位置。

当0c >时，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴（即x轴上方）；当0c <时，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴（即x 轴下方）；当0c =时，抛物线过原点。

反之，也成立。

③ a b 和：共同决定抛物线对称轴的位置。

当02b a ->时，对称轴在y 轴右边；当02ba-<时，对称轴在y 轴左边；当02ba-=（即当0b =时）对称轴为y 轴。

反之，也成立。

④特别：当1x=时，有y a b c =++；当1x =-时，有y a b c =-+。

反之也成立。

4、二次函数2()y a x h k =-+的图像可由抛物线2y ax =向上（向下），向左（向右）平移而得到。

具体为：当0h >时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位；当0h <时，抛物线2y ax=向左平移h -个单位，得到2()y a x h =-；当0k>时，抛物线2()y a x h =-再向上平移k 个单位，当0k <时，抛物线2()y a x h =-再向下平移k -个单位，而得到2()y a x h k =-+的图像。

5、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的关系：①若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴有两个交点，则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实根。

②若抛物线2(0)=++≠与x轴有一个交点，则一元二次方程y ax bx c a20(0)ax bx c a++=≠有两个相等的实根（即一根）。

③若抛物线2(0)=++≠与x轴无交点，则一元二次方程y ax bx c a20(0)++=≠没有实根。

ax bx c a6、二次函数2(0,,,)y ax bx c a a b c=++≠是常数的图像与性质【考点解析】考点一：二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）2.81A y x =+ .81B y x =-- 8.C y x =23.4D y x=- 【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A 中281y x =+符合2(0)y ax bx c a =++≠的形式，所以是二次函数，,B C 分别是一次函数和反比例函数，D 中右边234x-不是整式，显然不是二次函数。

【答案】A【例2】已知函数2234(2)3(1)m m y mm x mx m -+=--++是二次函数，则m =_____。

【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x 的最高次数为2”。

故有2220342m m m m ⎧-≠⎪⎨-+=⎪⎩，解得0212m m m m ≠≠⎧⎨==⎩且或，综上所述，m 取1。

【答案】1 【针对训练】 1、若函数22(2)m y m xmx -=-+是二次函数，则该函数的表达式为__________y =。

考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】已知点()8,a 在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（）2.A 2.-B .C 2± 2.±D【解析】因为点()8,a 在二次函数2ax y =的图象上，所以将点()8,a 代入二次函数2ax y =中，可以得出3a 8=，则可得2=a ，【答案】.A【例2】（2011，泰安）若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表，则当1-=x 时，y 的值为（ ）x7- 6- 5- 4- 3- 2-y27- 13- 3-3 535.A 3.-B 13.-C 27-【解析】设二次函数的解析式为()k h x a y +-=2，因为当4-=x 或2-时，3=y ，由抛物线的对称性可知3-=h ，5=h ，所以()532++=x a y ，把()3,2-代入得，2-=a ，所以二次函数的解析式为()5322++-=x y ，当3=x 时，27-=y 。

【答案】C 【针对训练】1、(2002年太原)过()0,1-,()0,3,()2,1三点的抛物线的顶点坐标是（ ）.A ()2,1 2.(1,)3B ()5,1.-C 14.(2,)3D2、无论m 为何实数，二次函数2x y =()m x m +--2的图象总是过定点（ ）()3,1.A ()0,1.B ()3,1.-C ()0,1-D【例3】（2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象顶点为()2,2.--A ，且过点()2,0B ，则y 与x 的函数关系式为（ ）.A 22+=x y .B ()222+-=x y .C ()222--=x y .D ()222-+=x y【解析】设这个二次函数的关系式为()222-+=x a y ，将()2,0B 代入得()22022-+=，解得：1=a ，故这个二次函数的关系式是()222-+=x y ，【答案】D【针对训练】考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,,a b c 的关系）【例1】（2012，兰州）已知二次函数b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，则a 、b 的大小关系为（ ）.A b a > .B b a < .C b a = .D 不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，所以0>a，1=-b ，1-=b ，所以b a >。

【答案】.A 【针对训练】1、二次函数1422--=x x y 的最小值是 。

2、（2013，兰州）二次函数3)1(22+--=x y 的图象的顶点坐标是（ ）.A )31(， .B )31(，- .C )31(-， .D )31(--，3、抛物线)2(--=x x y 的顶点坐标是（ ）.A )11(--， .B )11(，- .C )11(， .D )11(-，【例2】（2012，兰州）抛物线3)2(2-+=x y 可以由抛物线2x y =平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）.A 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 .B 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 .C 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 .D 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线2x y =向左平移2个单位可得到抛物线2)2(+=x y ，再向下平移3个单位可得到抛物线3)2(2-+=x y 。

【答案】.B【针对训练】1、（2012，南京）已知下列函数：（1）2x y =；（2）2x y -=；（3）2)1(2+-=x y 。

其中，图象通过平移可以得到函数322-+=x x y 的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。

2、（2009，上海）将抛物线22-=x y 向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。

3、将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.A 22+-=x y .B 2)2(+-=x y .C 2)2(--=x y .D 22--=x y4、将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移3个单位，在向左平移4个单位得到抛物线2245y x x =--+，则原抛物线的顶点坐标是__________。

【例3】（2013，长沙）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）.A 0>a .B 0>c .C 042>-ac b .D 0>++c b a【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，与x 轴有两个交点，所以0>a ，0>c ，042>-ac b ，且当1=x 时，0<++=c b a y 。