2012年普通高等学校（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

3、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

4、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式 V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.把复数的共轭复数记作z ，设（1+2i ）z =4+3i ，其中i 为虚数单位，则z i = A ． 2- i B. 2+ i C.1+2 i Ｄ．-1+2i 2．已知集合A={x ∣f(x)=3+x +21+x }，B={x ∣3x-7≤8-2x}，则A B ⋂为 Ａ．[3,-3] Ｂ．[3,-2）U （-2，-3] Ｃ．[3,-2) Ｄ．[-2，-3] 3. 函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图像关于Ａ．直线x=a 对称 Ｂ．点（a ，0）对称 Ｃ．原点对称 Ｄ．Y 轴对称4.已知{}n a 是等比数列，且,20252,0645342=++>a a a a a a a n 那么，53a a +的值为Ａ．45 Ｂ．35 Ｃ．25 Ｄ．155. 在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，E 是BC 边的中点，连接DE 交AC 于点F 。

已知→→→→==b AD a AB ,,则=→OFA ．→→+b a 6131B ．)(41→→+b aC ．)(61→→+b aD ．→→+b a 41616. 对于命题p 、q ，有p ∧q 是假命题，下面说法正确的是 A ．p ∨q 是真命题 B ．p ⌝是真命题 C ．q p ⌝⌝∧是真命题 D. q p ⌝⌝∨是真命题7. 如图是某几何体三视图的斜二测画法，正视图（主视图）是等腰三角形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A.316B.16C.8D. 48.设集合X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2},从X 到Y 的映射f 满足条件：对于每个x ∈X ，恒有x+f(x)是奇函数，这样的映射一共有A.12个B.6个C.18个D.24个16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）9. 函数)20(2cos sin π≤≤+=x x x y 的值域是 .10.7)21(x +的展开式中，第4项系数是 （用数字作答） 11. 求=+⎰-dx x xe x )1(2112 ____________.12. 对同一目标进行三次独立射击，每次命中率为p,不中的概率为q,三次射击恰好中两次的概率是____________。

13. 已知双曲线122=-ay a x 的右焦点为F ，过F 的任一直线交双曲线右支于M 、N,MN 的垂直平分线交X 轴于P,则当a 取任意正实数时，MNFP 的值_____.（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）参数方程 ⎩⎨⎧=+=θθ2cos cos 23y x （θ是参数）所表示的曲线的焦点坐标是 ___________.15.（几何证明选讲选做题）如图，△ABC 中，∠C=90°，点O 在BC 边上，半圆O 过点C ，切AB 于点D ，交BC 于E ，又BE=1，BD=2，则AD= 。

三．解答题。

本大题共6小题，满分80分。

解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）在△ABC中，点D为BC边上的一点，已知AB=3，AD=1，CD=2,∠ABC=30°(1)求BD的值；(2)求△ADC的面积.17.（本小题满分13分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13、25、8、16、20、7、15、11、22、28乙运动员得分：12、17、20、10、15、12、18、6、24、16（1）把甲、乙得分数据做成茎叶图；（2）把甲、乙得分数据做成频率分布直方表；（3）分别求出甲乙的平均数及方差。

18.(本小题满分13分)如图.在棱长等于a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P,M,N分别是边D1D,AB,BC的中点。

(1) 证明：PB 平面B1MN;(2) 求二面角B-B1N-M的正切值.19.(本小题满分14分)已知函数f(x)=1+2)3(36+x x，求： （1）当x 为何值时，函数f(x)取得极大值; （2）作出函数f(x)的草图，并写出分析过程.20.（本小题满分14分）点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线L:x=425的距离的比是常数54。

且直线L /为4x-5y+40=0，设点M 的运动轨迹为C 。

求： （1）轨迹为C 的方程；（2）轨迹为C 上是否存在一点，它到直线L /的距离最小？最小距离是多小？21.（本小题共14分）数列{}n a 满足a 1=2，a 1+n =242n a --,数列{b n }定义为：b n =21+n a n ,n ∈N *.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：b n <7, n ∈N *.2012年广东高考理科数学参考答案一、选择题二、填空题 ９. ]89,2[-；10. 280； 11. 221ee -； 12. q p 23； 13. 185； 14. )21,3(-；15. 3；三、解答题16．解：(1)由余弦定理得COS30°=BDAB AD BD AB ⋅-+2222得BD=1或BD=2(2) ①当BD=1时，由余弦定理得AC=3 △ADC 为直角三角形，故S △ADC=23 ②当BD=2时，由余弦定理得AC=7由正弦定理得 Sin ∠ADB= Sin ∠ADC=23, 故S △ADC=⋅⋅DC AD 21 Sin ∠ADC=23 17．解：（1）如图1所示；图1 图2（2）如图2所示；（3）5.16=甲X ，2S 甲=45.45 15=乙X ，2S 乙=28.318.解：(1) 证明：略(几何法或建立空间直角坐标系)(2) 建立空间直角坐标系，求的tan∠B-B1N-M=25 19．解：（1）函数的定义域为（-∞，-3）∪（-3，+∞）对函数f(x)求导得：f/(x)=3)3()3( 36+-xx令f/(x)=0，得x=3因为x∈（-∞，-3）时，f/(x)<0; x∈(-3,3)时，f/(x)>0；x∈（-3，+∞）时，f/(x)<0所以x=3时，函数f(x)取得极大值.（２）．对f/(x)=3)3()3( 36+-x x求导得：f//(x)=4)3()6(72+-xx令f//(x)=0，得x=6. 列表分析：计算点的函数值：f(0)=1,f(-1)=-8,f(-9)=-8,f(-15)=-411草图:20．解（１）设d 是点M 到直线L ：x=425的距离， 点M 的轨迹集合为：P={M ∣54=dMP } 即54425)4(22=-+-x y x ，化简的：192522=+y x 所以轨迹为C 的方程为：192522=+y x （２）设直线m 平行直线L /，则直线m 的方程为：4x-5y+k=0由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-192505422y x k y x 消去y ，得022582522=-++k kx x令△=0 得 0)225(1006422=--k k 解得 251=k ，或252-=k由图知，当k=25时，直线m 与椭圆的交点到直线L /的距离最小，此时直线m的方程为4x-5y+25=0所以41411554254022=+-=d 最小距离为414115.21．解：（１）设4sin 21π=a ,则332222sin22sin 44cos1(24cos224sin 442πππππ==-=-=--=a若12sin2+=k k a π，则由递推关系知2112sin22cos22+++=-=k k k a ππ所以，{}n a 的通项公式)(2sin21*+∈=N n a n n π（２）由（１）知，)(2sin212*++∈=N n b n n n π，于是因为20π<<x 时，sinx<x （可先设函数g(x)=sinx-x,x ∈（0，2π）证明） 所以 72222sin21212<=⋅<=++++πππn n n n n b正毕.。