实验一 采样率对信号频谱的影响1．实验目的（1）理解采样定理；（2）掌握采样频率确定方法；（3）理解频谱的概念；（4）理解三种频率之间的关系。

2．实验原理理想采样过程是连续信号x a (t )与冲激函数串M (t )的乘积的过程∑∞-∞=-=k s kT t t M )()(δ (7-13) )()()(ˆt M t x t xa a = (7-14) 式中T s 为采样间隔。

因此，理想采样过程可以看作是脉冲调制过程，调制信号是连续信号x a (t )，载波信号是冲激函数串M (t )。

显然)()()()()(ˆs k s a k s a a kT t kT x kT t t x t x-=-=∑∑∞-∞=∞-∞=δδ (7-15)所以，)(ˆt xa 实际上是x a (t )在离散时间kT s 上的取值的集合，即)(ˆs a kT x 。

对信号采样我们最关心的问题是，信号经过采样后是否会丢失信息，或者说能否不失真地恢复原来的模拟信号。

下面从频域出发，根据理想采样信号的频谱)(ˆΩj X a和原来模拟信号的频谱)(Ωj X 之间的关系，来讨论采样不失真的条件∑∞-∞=Ω-Ω=Ωk s s a kj j X T j X )(1)(ˆ (7-16)上式表明，一个连续信号经过理想采样后，其频谱将以采样频率Ωs ＝2π／T s 为间隔周期延拓，其频谱的幅度与原模拟信号频谱的幅度相差一个常数因子1／T s 。

只要各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则可以完全恢复原来的模拟信号。

根据式(7-16)可知，要保证各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则必须满足Ωs ≥2Ω。

这就是奈奎斯特采样定理：要想连续信号采样后能够不失真地还原原信号，采样频率必须大于或等于被采样信号最高频率的两倍h s Ω≥Ω2，或者h s f f 2≥，或者2h s T T ≤ (7-17) 即对于最高频率的信号一个周期内至少要采样两点，式中Ωh 、f s 、T h 分别为被采样模拟信号的最高角频率、频率和最小周期。

在对正弦信号采样时，采样频率要大于这一最低的采样频率，或小于这一最大的采样间隔才能不失真地恢复信号。

对正弦信号采样时，一般要求在一个周期至少采样3个点，即采样频率h s f f 3 。

3．实验内容（1）采样率的确定在本实验中要用到正弦信号、余弦信号和矩形波：正弦信号：sin(20πt )；余弦信号：cos(20πt )；矩形波：频率为50Hz 、占空比为1的矩形波（2）计算采样后所得序列的频谱① 正弦信号在采样率为15Hz 、20Hz 和50Hz 时采样所得序列的频谱；② 余弦信号在采样率为15Hz 、20Hz 和50Hz 时采样所得序列的频谱；③ 矩形波在采样率为100Hz 、400Hz 和800Hz 时采样所得序列的频谱；（3）分析不同信号在不同采样率下频谱的特点4．实验步骤（1）复习并理解时域采样定理；（2）编写Matlab 程序计算不同采样率下信号的频谱；（3）调试程序，排除程序中的错误；（4）分析程序运行结果，检验是否与理论一致。

5．实验报告要求（1）阐明实验的目的、原理和内容；（2）打印主要程序并粘贴在实验报告中；（3）打印实验结果并粘贴在实验报告中；（4）针对实验结果加以分析和总结。

6．思考题（1）对相同频率的正弦和余弦信号，均采用信号频率2倍的采样率采样时所得序列的频谱有何不同？为什么？（2）50Hz 的矩形波的采样率为何不能为100Hz ？（3）对矩形波，要完全不失真采样率应为多少？一般采样率为信号频率的多少倍时就可近似认为没有失真？例3-5-1 试求信号x (t )＝sin(100πt )用采样率为80Hz 、100Hz 、101Hz 、150Hz 时采样所得序列的频谱，要求频率分辨率为0.5Hz 。

解：频率分辨率为0.5Hz ，则频域采样点数分别为160、200、202和300。

程序如下：deltf=0.5;%频率分辨率Fs1=80;Fs2=100;Fs3=101;Fs4=150;%采样率N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;%采样点数n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;%采样点x1=sin(100*pi*n1/Fs1);x2=sin(100*pi*n2/Fs2);%采样x3=sin(100*pi*n3/Fs3);x4=sin(100*pi*n4/Fs4);%采样y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);y4=fft(x4);%快速傅里叶变换y1=y1.*conj(y1)/N1^2;y2=y2.*conj(y2)/N2^2;%计算功率y3=y3.*conj(y3)/N3^2;y4=y4.*conj(y4)/N4^2;%计算功率subplot(2,2,1);plot((0:49)/Fs1,x1(1:50));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([0 0.6 -1 1.5]);text(0.02,1.2,'采样率为80Hz的时域波形');subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N1,y1);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(功率)');text(10,0.32,'采样率为80Hz的频谱');%下面显示波形的程序省略程序运行结果如图3-15所示，信号实际频率为50Hz，现分析如下：①在采样率为80Hz时，频谱中有两个冲激，分别对应30Hz和50Hz，50Hz的冲激与理论一致，30Hz的冲激为采样率(80Hz)与信号实际频率(50Hz)之差，即30Hz冲激其实是下一周期负频率对应的冲激，表明频谱前后周期之间出现了重叠，即混叠；②采样率为100Hz时，时域波形和频谱幅度均极小，近似为0，时域波形杂乱无章，频谱也无规律可言，原因在于，采样率刚好为频率的2倍，所以采样点刚好落在了幅值为0处，故几乎无信号；③采样率为101Hz时，时域波形幅度由0逐渐递增直至达到1，频谱中有两个冲激，一个对应50Hz，一个对应51Hz(两个冲激距离很近)，从时域来看出现了失真，从频域来看，基本没有混叠；④采样率为150Hz时，时域波形与理论波形变化规律一致，但幅度没达到最大理论值1，频谱中有两个冲激，一个对应50Hz，一个对应100Hz，两者关于中心点N/2对称，根据前面的分析可知，100Hz的冲激其实对应于下一周期的负频率的冲激，由于数字频率一般取－π～π(对应于－N/2～N/2)，故100Hz的冲激没有影响。

因此，对于正弦信号，采样率低于2f h时将出现频谱混叠。

图3-15 x(t)＝sin(100πt)不同采样率的时域波形和频谱例3-5-2试求频率为50Hz的矩形波用采样率为400Hz、500Hz、600Hz、1000Hz时采样所得序列的频谱，要求频率分辨率为0.5Hz。

解：矩形波是由基频的奇次谐波构成，最高频率为∞，因此无论如何都将产生频谱的混叠。

但是随着频率的升高，其幅度衰减很快，因此，只要采样频率达到一定程度，就认为没有失真。

在实际处理一些波形时也常采用这一近似。

deltf=0.5;%频率分辨率Fs1=400;Fs2=500;Fs3=600;Fs4=1000;%采样率N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;%采样点数n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;%采样点x1=square(100*pi*n1/Fs1);x2=square(100*pi*n2/Fs2);%采样x3=square(100*pi*n3/Fs3);x4=square(100*pi*n4/Fs4);%采样y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);y4=fft(x4);%快速傅里叶变换y1=abs(y1);y2=abs(y2);%计算绝对值y3=abs(y3);y4=abs(y4);%计算绝对值figure(1)subplot(2,2,1);stem((0:399)/Fs1,x1(1:400));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([0 0.1 -1.5 1.5]);text(0,1.25,'采样率为400Hz的时域波形');subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N1,y1);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(8,550,'采样率为400Hz的频谱');subplot(2,2,3);stem((0:499)/Fs2,x2(1:500));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([0 0.1 -1.5 1.5]);text(0,1.25,'采样率为500Hz的时域波形');subplot(2,2,4);plot(n2*Fs2/N2,y2);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(8,750,'采样率为500Hz的频谱');figure(2)subplot(2,2,1);stem((0:599)/Fs3,x3(1:600));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([0 0.08 -1.5 1.5]);text(0,1.25,'采样率为600Hz的时域波形');subplot(2,2,2);plot(n3*Fs3/N3,y3);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(8,750,'采样率为600Hz的频谱');subplot(2,2,3);stem((0:999)/Fs4,x4(1:1000));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([0 0.06 -1.5 1.5]);text(0.02,1.2,'采样率为1000Hz的时域波形');subplot(2,2,4);plot(n4*Fs4/N4,y4);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(10,1300,'采样率为1000Hz的频谱');现分析如下：①在采样频率为400Hz时，频谱图中出现了比较明显的4个冲激，频率分别对应于50Hz、150Hz、250Hz和350Hz。