二项式定理
【2011⋅新课标全国理，8】
5
1()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )．
A ．－40
B ．－20
C ．20
D ．40
【答案】D
【最新考纲解读】
二项式定理
(1)能用计数原理证明二项式定理．
(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式
011
()n n n r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二
项式系数；展开式共有n +1项.
注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1
时，系数就是二项式系数。

如在()n
ax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r
n C ，第
3.项的系数和二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（
m n m
n n
C C-
=
）．
【方法技巧提炼】
(2)()()n m
a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察
()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、
的通项公式，综合考虑.
例2
610
34
(1)(1)x x 展开式中的常数项为（ ）
A ．1
B ．46
C ．4245
D ．4246
答案： D
例3
5
)2
1
2
(+
+
x
x
的展开式中整理后的常数项为 .
答案：
632
例5 若对于任意实数x，有
323
0123
(2)(2)(2)
x a a x a x a x
=+-+-+-
，则2
a的值为（）
A．3 B．6 C．9 D．12答案：B
解析：因
3
3)]
2
(
2[-
+
=x
x,则3
13
2(2)
r r r
r
T C x
-
+
=-
,
6
22
3
2
=
=C
a
.选B
解析：对于第二问求系数最大的项，因其展开式系数正负相间，可考虑转化为其系数全部为正时系数最大.然后根据其展开式的奇数项系数为正，偶数项系数为负，确定系数最大项.
（Ⅰ）由题设，得
021
11
C C2C
42
n n n
+⨯=⨯⨯
，即2980
n n
-+=，解得n＝8，n＝1（舍去）．
答案：2187
【考场经验分享】
【新题预测演练】
高三年级第一次模拟考试】 在9
1()x x
的展开式中，常数项为
(A) 36 (B) -36 (C) 84 (D) -84 [答案]D
[解析]939219
9193()
()(1),0,3,2
r
r
r
r r r
r r T C x C x r x --+-=-=-=∴=则常数项为339(1)84.C -=-
【答案】D
【解析】5(1)ax -的展开式中含3x 的项为
232335()(1)10C ax a x -=，由题意得31080a =， 所以2a =.选D.
5.【2011杭西高8月高三数学试题】
已知
727
01271234567 (12),
x a a x a x a x a a a a a a a
-=++++++++++
那么
等于
（）
A．2 B．—2 C．1 D．—1
【解析81()x x -的展开式的通项公式为8821881()(1)r r r r r r
r T C x C x x --+=-=-，令822r -=，
得3r =，所以2x 的系数为
338(1)56C -=-.
13.【福州市2012届第一学期期末高三质检】
在243
(1)(1)x x -+的展开式中，x 的系数等于 .(用数字作答)
【答案】-3 【解析】2(1)x +展开式中x 的系数为1，43(1)x +展开式中x 的系数为
344C =，故在243(1)(1)x x +-+的展开式中，x 的系数等于-3.
14.【2012届衡阳市八中高三第一次月考】
4
2()x x -的展开式中的常数项为_ . (用数字作答)
【答案】24
【解析】
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