第六章 判别分析§6.1 什么是判别分析判别分析是判别样品所属类型的一种统计方法，其应用之广可与回归分析媲美。

在生产、科研和日常生活中经常需要根据观测到的数据资料，对所研究的对象进行分类。

例如在经济学中，根据人均国民收入、人均工农业产值、人均消费水平等多种指标来判定一个国家的经济发展程度所属类型；在市场预测中，根据以往调查所得的种种指标，判别下季度产品是畅销、平常或滞销；在地质勘探中，根据岩石标本的多种特性来判别地层的地质年代，由采样分析出的多种成份来判别此地是有矿或无矿，是铜矿或铁矿等；在油田开发中，根据钻井的电测或化验数据，判别是否遇到油层、水层、干层或油水混合层；在农林害虫预报中，根据以往的虫情、多种气象因子来判别一个月后的虫情是大发生、中发生或正常； 在体育运动中，判别某游泳运动员的“苗子”是适合练蛙泳、仰泳、还是自由泳等；在医疗诊断中，根据某人多种体验指标（如体温、血压、白血球等）来判别此人是有病还是无病。

总之，在实际问题中需要判别的问题几乎到处可见。

判别分析与聚类分析不同。

判别分析是在已知研究对象分成若干类型（或组别）并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。

对于聚类分析来说，一批给定样品要划分的类型事先并不知道，正需要通过聚类分析来给以确定类型的。

正因为如此，判别分析和聚类分析往往联合起来使用，例如判别分析是要求先知道各类总体情况才能判断新样品的归类，当总体分类不清楚时，可先用聚类分析对原来的一批样品进行分类，然后再用判别分析建立判别式以对新样品进行判别。

判别分析内容很丰富，方法很多。

判别分析按判别的组数来区分，有两组判别分析和多组判别分析；按区分不同总体的所用的数学模型来分，有线性判别和非线性判别；按判别时所处理的变量方法不同，有逐步判别和序贯判别等。

判别分析可以从不同角度提出的问题，因此有不同的判别准则，如马氏距离最小准则、Fisher 准则、平均损失最小准则、最小平方准则、最大似然准则、最大概率准则等等，按判别准则的不同又提出多种判别方法。

本章仅介绍四种常用的判别方法即距离判别法、Fisher 判别法、Bayes 判别法和逐步判别法。

§6.2 距离判别法基本思想：首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心即分组（类）的均值，判别准则是对任给的一次观测，若它与第i 类的重心距离最近，就认为它来自第i 类。

距离判别法，对各类（或总体）的分布，并无特定的要求。

1 两个总体的距离判别法设有两个总体（或称两类）G 1、G 2，从第一个总体中抽取n 1个样品，从第二个总体中抽取n 2个样品，每个样品测量p 个指标如下页表。

今任取一个样品，实测指标值为),,(1'=p x x X ，问X 应判归为哪一类？首先计算X 到G 1、G 2总体的距离，分别记为),(1G X D 和),(2G X D ，按距离最近准则判别归类，则可写成：⎪⎩⎪⎨⎧=>∈<∈),(),( ,),(),(,),(),(,21212211G X D G X D G X D G X D G X G X D G X D G X 当待判当当 G 1总体： G 2总体：记2,1,),,()()(1)(='=i x x Xi p i i如果距离定义采用欧氏距离，则可计算出1(,)D X G ==2(,)D X G ==然后比较),(1G X D 和),(2G X D 大小，按距离最近准则判别归类。

由于马氏距离在多元统计分析中经常用到，这里针对马氏距离对上述准则做较详细的讨论。

设)1(μ、)2(μ，)1(∑、)2(∑分别为G 1、G 2的均值向量和协方差矩阵。

如果距离定义采用马氏距离即2,1)()()(),()(1)()(2=-∑'-=-i X X G X D i i i i μμ这时判别准则可分以下两种情况给出： （1）当∑=∑=∑)2()1(时考察),(22G X D 及),(12G X D 的差，就有：)2(1)2()2(1112222),(),(μμμ-'--∑+∑'-∑'=-X X X X G X D G X D]2[)1(1)1()1(11μμμ-'--∑+∑'-∑'-X X X)()()(2)2()1(1)2()1()2()1(1μμμμμμ-∑'+--∑'=--X)()(212)2()1(1)2()1(μμμμ-∑'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-X 令)(21)2()1(μμμ+=)()()()2()1(1μμμ-∑'-=-X X W则判别准则可写成：⎪⎩⎪⎨⎧==<<∈>>∈),(),(D 0)(,),(),(D 0)(,),(),(D 0)(,12221222212221G X D G X X W G X D G X X W G X G X D G X X W G X 即当待判即当即当 当)2()1(,,μμ∑已知时，令),,()(1)2()1(1'∆-∑=-p a a a μμ则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-'='-=p p p x x a a X a a X X W μμμμ ),,()()()(111)()(111p p p x a x a μμ-++-=显然，W (X )是p x x ,,1 的线性函数，称W (X )为线性判别函数，a 为判别系数。

当)2()1(,,μμ∑未知时，可通过样本来估计。

设)()(2)(1,,,i ni i iX X X 来自G i 的样本，i =1,2。

∑===11)1()1(1)1(1ˆn i i X X n μ ∑===21)2()2(2)2(1ˆn i i XX n μ)(21ˆ2121S S n n +-+=∑其中 ∑='--=in t i i t i i t i X X X XS 1)()()()())(()(21)2()1(X X X +=线性判别函数为：)(ˆ)()()2()1(1X X X X X W -∑'-=- 当p =1时，若两个总体的分布分别为),(21σμN 和),(22σμN ，判别函数)(1)2()(21221μμσμμ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=X X W ，不妨设21μμ<，这时W(X)的符号取决于μ>X 或μ<X 。

当μ<X 时，判1G X ∈；当μ>X 时，判2G X ∈。

我们看到用距离判别所得到的准则是颇为合理的。

但从下图又可以看出，用这个判别法有时也会得出错判。

如X 来自G 1，但却落入D 2，被判为属G 2，错判的概率为图中阴影的面积，记为)1/2(P ，类似有)2/1(P ，显然)1/2(P =)2/1(P =⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-σμμ2121。

当两总体靠得很近（即|21μμ-|小），则无论用何种办法，错判概率都很大，这时作判别分析是没有意义的。

因此只有当两个总体的均值有显著差异时，作判别分析才有意义。

（2）当)2()1(∑≠∑时按距离最近准则，类似地有：⎪⎩⎪⎨⎧=>∈<∈),(),( ,),(),(,),(),(,21212211G X D G X D G X D G X D G X G X D G X D G X 当待判当当 仍然用),(),()(1222G X D G X D X W -=)()()()2(1)2()2(μμ-∑'-=-X X )()()()1(1)1()1(μμ-∑'---X X作为判别函数，它是X 的二次函数。

2 多个总体的距离判别法类似两个总体的讨论推广到多个总体。

设有k 个总体G 1, …, G k ，它们的均值和协方差阵分别为k i i i ,,1,,)()( =∑μ，从每个总体G i 中抽取n i 个样品，i =1,…,k ，每个样品测p 个指标。

今任取一个样品，实测指标值为),,(1'=p x x X ，问X 应判归为哪一类？G 1总体： … G k 总体：记向量k i x x x X p i ,,1 ),,,(21)( ='=（1）当∑=∑-=∑)()1(k 时此时k ,1,i )()(),()(1)(2 =-∑'-=-i i i X X G X D μμ判别函数为：)],(),([21)(22i j ij G X D G X D X W -=()k ,1,j i, )(21)()(1)()( =-∑'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-j i j i X μμμμ相应的判别准则为：⎪⎩⎪⎨⎧=≠>∈0)(W ,,0)(W ,ij ij X ij X G X i 若有某一个待判对一切当 当)1()1(,,μμ ，∑未知时可用其估计量代替，设从G i 中抽取的样本为k i X X i n i i,,1,,,)()(1=，则)(ˆi μ，∑ˆ的估计分别为 ∑====in a i aii i k i Xn X1)()()(,,11ˆ μ∑=-=∑ki iSkn 11ˆ其中 ∑='--=++=in a i i a i i ai i X X X XS n n n 1)()()()(1))((, 为G i 的样本离差阵。

（2）当)()1(,,k ∑∑ 不相等时此时判别函数为：)(][)()()(1)()(j j j ji X V X X W μμ-'-=-)(][)()(1)()(i i i X V X μμ-'---相应的判别准则为：⎪⎩⎪⎨⎧=≠>∈0)(W ,,0)(W ,ij ij X ij X G X i 若某一个待判对一切当 当),,1(,)()(k i i i =∑μ未知时，可用)()(,i i ∑μ的估计量代替，即)()(ˆi i X =μk i S n ii i ,,111ˆ)( =-=∑例1 人文发展指数是联合国开发计划署于1990年5月发表的第一份《人类发展报告》中公布的。

该报告建议，目前对人文发展的衡量应当以人生的三大要素为重点，衡量人生三大要素的指示指标分别要用出生时的预期寿命、成人识字率和实际人均GDP ，将以上三个指示指标的数值合成为一个复合指数，即为人文发展指数。

资料来源：UNDP 《人类发展报告》1995年。

今从1995年世界各国人文发展指数的排序中，选取高发展水平、中等发展水平的国家各五个作为两组样品，另选四个国家作为待判样品作距离判别分析。

数据选自《世界经济统计研究》1996年第1期本例中变量个数p =3，两类总体各有5个样品，即521==n n ，有4个待判样品，假定两总体协差阵相等。