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勾股定理练习题及答案

勾股定理课时练(1)1. 在直角三角形ABC中,斜边AB=1,则AB222ACBC++的值是()2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10 cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是______ cm(结果不取近似值).3. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______.4.一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少m?5.如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是米.6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示,无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度.8. 一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。

求CD的长.9. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长.10. 如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗?第一课时答案:,提示:根据勾股定理得122=+AC BC,所以AB 222ACBC ++=1+1=2;,提示:由勾股定理可得斜边的长为5m ,而3+4-5=2m ,所以他们少走了4步.3. 1360 ,提示:设斜边的高为x ,根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ,再利用面积法得,1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ;4. 解:依题意,AB=16m ,AC=12m , 在直角三角形ABC 中,由勾股定理,222222201216=+=+=AC AB BC ,所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高.6. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米),所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时) 7. 解:将曲线沿AB 展开,如图所示,过点C 作CE ⊥AB 于E. 在R 90,=∠∆CEFCEF t ,EF=18-1-1=16(cm ),CE=)(3060.21cm =⨯,由勾股定理,得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+8.解:在直角三角形ABC 中,根据勾股定理,得254322222=+=+=AB AC BC在直角三角形CBD 中,根据勾股定理,得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169,所以CD=13.9. 解:延长BC 、AD 交于点E.(如图所示)∵∠B=90°,∠A=60°,∴∠E=30°又∵CD=3,∴CE=6,∴BE=8, 设AB=x ,则AE=2x ,由勾股定理。

得338,8)2(222==-x x x 10. 如图,作出A 点关于MN 的对称点A ′,连接A ′B 交MN 于点P ,则A ′B 就是最短路线. 在Rt △A ′DB 中,由勾股定理求得A ′B =17km 11.解:根据勾股定理求得水平长为m 1251322=-,地毯的总长 为12+5=17(m ),地毯的面积为17×2=34()2m,铺完这个楼道至少需要花为:34×18=612(元)12. 解:如图,甲从上午8:00到上午10:00一共走了2小时, 走了12千米,即OA =12.乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时, 走了5千米,即OB =5.在Rt △OAB 中,AB 2=122十52=169,∴AB =13,第10题图因此,上午10:00时,甲、乙两人相距13千米.∵15>13,∴甲、乙两人还能保持联系.勾股定理的逆定理(2)一、 选择题1.下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是( ) ,12,15 B.43,1,45,, ,41,9 2.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( )A.三个内角比为1∶2∶1B.三边之比为1∶2∶5C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶33.已知三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为( ) A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对4. 五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )A B C D 二、填空题5. △ABC 的三边分别是7、24、25,则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为9、12、15的三角形,其面积为 .7.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ,8=c,则此三角形为 三角形. 8.在三角形ABC 中,AB=12cm ,AC=5cm ,BC=13cm ,则BC 边上的高为AD= cm . 三、解答题9. 如图,已知四边形ABCD 中,∠B =90°,AB =3,BC =4,CD =12,AD =13,求四边形ABCD 的面积.10. 如图,E中BC 和CD 边上的点,且AB =4,CE =BC ,F 为CD 的中点,连接AF 、AE,问△AEF 是什么三角形?请说明理由.11. 如图,AB 为一棵大树,在树上距地面10m 的D 处有两只猴子,它们同时发现地面上的C 处有一筐水果,一只猴子从D 处上爬到树顶A 处,利用拉在A 处的滑绳AC ,滑到C 处,另一只猴子从D 处滑到地面B ,再由B 跑到C ,已知两猴子所经路程都是15m ,求树高AB .12.如图,为修通铁路凿通隧道AC ,量出∠A=40°∠B =50°,AB =5公里,BC =4公里,若每天凿隧道公里,问几天才能把隧道AB 凿通?勾股定理的逆定理答案:一、;;,提示:当已经给出的两边分别为直角边时,第三边为斜边=;1026222=+当6为斜边时,第三边为直角边=242622=-;4. C ;二、°提示:根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,所以最大的内角为 90°.,提示:先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,面积为.5412921=⨯⨯7.直角,提示:2222222864182100,1002,100)(c b a ab b a b a ===⨯-=+=++=+得;8.1360,提示:先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形,再利用面积法求得AD ⨯⨯=⨯⨯132151221; 三、9. 解:连接AC ,在Rt △ABC 中,AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25, ∴ AC =5.在△ACD 中,∵ AC 2+CD 2=25+122=169, 而 AB 2=132=169,∴ AC 2+CD 2=AB 2,∴ ∠ACD =90°. 故S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =21AB ·BC +21AC ·CD =21×3×4+21×5×12=6+30=36.10. 解:由勾股定理得AE 2=25,EF 2=5,AF 2=20,∵AE 2= EF 2 +AF 2,∴△AEF 是直角三角形11. 设AD =x 米,则AB 为(10+x )米,AC 为(15-x )米,BC 为5米,∴(x +10)2+52=(15-x )2,解得x =2,∴10+x =12(米) 12. 解:第七组,.1131112,112)17(72,15172=+==+⨯⨯==+⨯=c b a第n 组,1)1(2),1(2,12++=+=+=n n c n n b n a勾股定理的逆定理(3)一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10 cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是________ cm(结果不取近似值).图18 图18-2-5 图18-2-63.如图18-2-5,以Rt△ABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,且S1=4,S2=8,则AB的长为_________.4.如图18-2-6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点,F为AD上的一点,且AF=41AD,试判断△EFC的形状.5.一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,BD=5,DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗?图18-2-76.已知△ABC的三边分别为k2-1,2k,k2+1(k>1),求证:△ABC是直角三角形.二、综合·应用7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长,△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c,那么△A1B1C1是直角三角形吗?为什么?8.已知:如图18-2-8,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.求证:△ABC是直角三角形.图18-2-89.如图18-2-9所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),△OAB 是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论. 图18-2-910.已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.12.已知:如图18-2-10,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3. 求:四边形ABCD 的面积.图18-2-10参考答案一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5思路分析:判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法:①有一个角是直角或两锐角互余;②两边的平方和等于第三边的平方;③一边的中线等于这条边的一半.由A得有一个角是直角;B、C满足勾股定理的逆定理,所以应选D.答案:D2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10 cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是________ cm(结果不取近似值).图18-2-4解:过D点作DE∥AB交BC于E,则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形,∴AB=DE.∵∠D=120°,∴∠CDE=30°.又∵在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半,∴CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得,DE=3551022=- cm.∴AB=3551022=- cm.3.如图18-2-5,以Rt△ABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,且S1=4,S2=8,则AB的长为_________.图18-2-5 图18-2-6思路分析:因为△ABC是Rt△,所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3,所以S3=12,因为S3=AB2,所以AB=32123==S.答案:324.如图18-2-6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点,F为AD上的一点,且AF=41AD,试判断△EFC的形状.思路分析:分别计算EF、CE、CF的长度,再利用勾股定理的逆定理判断即可.解:∵E为AB中点,∴BE=2.∴CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.∵CE2+EF2=CF2,∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.5.一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,AB=3,BD=5,DC=12 , BC=13,这个零件符合要求吗?图18-2-7思路分析:要检验这个零件是否符合要求,只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可,这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解:在△ABD中,AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2,所以△ABD为直角三角形,∠A =90°.在△BDC中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以△BDC是直角三角形,∠CDB =90°.因此这个零件符合要求.6.已知△ABC的三边分别为k2-1,2k,k2+1(k>1),求证:△ABC是直角三角形.思路分析:根据题意,只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明:∵k2+1>k2-1,k2+1-2k=(k-1)2>0,即k2+1>2k,∴k2+1是最长边.∵(k2-1)2+(2k)2=k4-2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,∴△ABC是直角三角形.二、综合·应用7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长,△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c,那么△A1B1C1是直角三角形吗?为什么?思路分析:如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数,得到的三角形还是直角三角形(例2已证).解:略8.已知:如图18-2-8,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.求证:△ABC是直角三角形.图18-2-8思路分析:根据题意,只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明:∵AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2=AB2.∴△ABC是直角三角形.9.如图18-2-9所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),△OAB 是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论.图18-2-9思路分析:借助于网格,利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度,再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.解:∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,∴OA2+AB2=OB2.∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.10.阅读下列解题过程:已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,(A)∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),(B)∴c2=a2+b2,(C)∴△ABC是直角三角形.问:①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的?请写出该步的代号_______;②错误的原因是______________;③本题的正确结论是__________.思路分析:做这种类型的题目,首先要认真审题,特别是题目中隐含的条件,本题错在忽视了a有可能等于b这一条件,从而得出的结论不全面.答案:①(B) ②没有考虑a=b这种可能,当a=b时△ABC是等腰三角形;③△ABC是等腰三角形或直角三角形.11.已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.思路分析:(1)移项,配成三个完全平方;(2)三个非负数的和为0,则都为0;(3)已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解:由已知可得a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,配方并化简得,(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.∵(a-5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0.∴a-5=0,b-12=0,c-13=0.解得a=5,b=12,c=13.又∵a2+b2=169=c2,∴△ABC是直角三角形.12.已知:如图18-2-10,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求:四边形ABCD的面积.图18-2-10思路分析:(1)作DE∥AB,连结BD,则可以证明△ABD≌△EDB(ASA);(2)DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3;(3)在△DEC中,3、4、5为勾股数,△DEC为直角三角形,DE⊥BC;(4)利用梯形面积公式,或利用三角形的面积可解.解:作DE∥AB,连结BD,则可以证明△ABD≌△EDB(ASA),∴DE=AB=4,BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3.∵DE2+CE2=32+42=25=CD2,∴△DEC为直角三角形.又∵EC=EB=3,∴△DBC为等腰三角形,DB=DC=5.在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,∴△BDA 是直角三角形. 它们的面积分别为S △BDA =21×3×4=6;S △DBC=21×6×4=12. ∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.勾股定理的应用(4)1.三个半圆的面积分别为S1=π,S2=8π,S3=π,把三个半圆拼成如图所示的图形,则△ABC一定是直角三角形吗?说明理由。

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