f ( p)e pt , pk
例：已知：f
(
p)
(2
2p2 4p p 1)( p2
1)
，求f
(t)。
f (t) L
1[
f
(
p)]
Re
s
f
(
p)e
pt
,
1 2
Re
s
f ( p)e pt , i
Re s
L [eat ] e pat dt
0
1 e pat pa
0
1 (Re p Re a) pa
L t te ptdt
0
1
tde pt
p0
1
te pt
1
e pt dt
p
0 p0
1 p2
e pt
0
1 p2
(Re p 0)
三、Laplace变换的性质
1、线性性质
L f (t) g(t) L f (t) L g(t)
例：已知L
cos t
p p2 1
L sin t L cos't
pL (cost) cos 0
p
p
p 2
1
1
1 p2 1
例：初始问题
y y
' '
t0
yt y'
t
0
0
设L yt y( p)
L y''t p2L yt py0 y'0
p2 y( p) p 0 0 p2 y( p)
当n 1时，
f 0 f '0 f ''0 f '''0 f n1 0 0
f nt n!
L f nt pnL f t
L f t L
f nt
pn
L n!
pn
n! p n1
(Re
p 0)
该结果对n 0的情况也适用。
4、积分性质
若L
f t
f ( p),L
t
f
t
0
（2）卷积定理
L [ f1(t) * f2 (t)] L [ f1(t)]L [ f2 (t)]
t
f1(t) * f2 (t) f1( ) f2 (t )d
0 t
L [ f1(t) * f2 (t)] f1( ) f2 (t )de ptdt
00
令 t ,
f1( ) f2 (t )e ptdtd
p2 y
y
1 p2
yp
p2
1 p2 1
1 p2
1 p2 1
L
t
1 p2
,L
sin t
1 p2 1
yt L
1 y p
L
1
1 p2
1 p2 1
t
sin t
例：求f (t) t n的Laplace变换（n为非负整数）。
L f nt pnL f t pn1 f 0 pn2 f '0 pf n2 0 f n1 0
L f (t) g(t) [f t gt]e ptdt
0
f teptdt gteptdt
0
0
L f (t) L g(t)
L
cost L
eit
eit
2
1L 2
eit 1 L 2
eit
1 1 1 1 2 p i 2 p i
p
p2 2
(Re p 0)
对于符合要求的f (t)，在 Re p s0的区域，像函数存在且 解析。
（1）证明 L [ f (t)] f p f t e pt dt存在
0
f t e pt dt f t e pt dt Mes0teRe ptdt
0
0
0
M eRe ps0 t dt
M
0
Re p s0
L et f t et f te ptdt
0
f t e p tdt
0
f (p )
(Re p Re )
L
tn
n! p n 1
L
ett n
(
p
n!
)n1
L
cost
p2
p
2
L
et cost
(
p
p )2
2
L
sin t
p2 2
L
et sin t
( p )2 2
1
s i
f ( p)e ptdp
2i si
n
Re s
k 1
f ( p)e pt , pk
闭路C L CR，R充分大时，所有奇点在C内，
由留数定理，
m
2i Re s f ( p)e pt , pk f ( p)e pt dp f ( p)e pt dp f ( p)e pt dp
s足够大时， f1(t)的Fourier变换可能存在。
F f1(t) f1(t)eit dt f (t)est h(t)eit dt f (t)e(si)t dt
0
f (s i) f (t)e(si)t dt
f1(t)
f (t)est h(t)
1
2
F
0
f1(t) eit d
L sht 1 L et et 1 L et 1 L et
2
2
2
1 2
1 1 p 2
1 p
p2 2
(Re p )
2、相似性质
若L [ f (t)] f ( p),则L f t 1 f p ( 0)
L f t f te ptdt
0
t
1
f
e p/d
0
1
f
p
3、导数性质
L
f 't
f 't e ptdt
f t e pt
p
f t e ptdt
0
0
0
f 0 pL f t
L f 't pL f t f 0 (Re p s0 )
L f (n) t pnL f t pn1 f 0 pn2 f '0 pf n2 0 f n1 0
0
e1 pt dt
0
1 (Re p 1) p 1
例：求单位跃阶函数的 像函数。
L ht hte ptdt
0
e pt dt
1
0
p
(Re p 0)
二、Laplace变换存在定理
1、f (t) f (t)h(t); 1、在[0, )上，f (t)分段连续，分段光滑； 3、| f (t) | Mes0t，M、s0是实常数，M 0，s0 0，s0为收敛横标。
f (t)
1
f (s i)e(si)t d(t 0)
令p s i,
L L
2
f (t) f ( p) f (t)e ptdt
0
1 f ( p) f (t)
1
s i
f ( p)e pt dp
2i si
例：求函数f (t) et的Laplace变换。
L [ f (t)] f p ete ptdt
1
a2
1 a
sin
at
L
[ 1 sin at * 1 sin at] L
a
a
[ 1 sin at]L a
[1 a
sin at]
( p2
1 a2)2
L
1
(
p
2
1 a2)2
1 a
sin at *
1 a
sin at
t
1 sin a 1 sin a(t )d
a
a
0
1 (sin at at cos at) 2a 3
0
L f1(t) * f2 (t) f1( ) f2 ( )e p( )dd
0
0
f1( )ep d f2 ( )ep d
0
0
L [ f1(t)]L [ f2 (t)]
例：求L
1
(
p
2
1 a2)2
1 11 ( p2 a2)2 p2 a2 p2 a2
L
1
p2
t
例：解方程y(t) at y( )sin(t )d
0
设L [ y(t)] y( p),方程两边做Laplace变换，
y( p)
a
1 p2
L
[ y(t) *sin t]
y( p)
a p2
L
[ y(t)]L
[sin t]
y( p)
a p2
y( p)
1 p2 1
y( p) a p2
1
0
t
n 3, f (t) t3 3 2d
0
L 1 L t0 1 p
L
t
1 p
1 p
1 p2
L
t2
2
1 p
1 p2
2! p3
L
t3
3
1 p
2! p3
3! p4
L
tn
n! p n1
(Re
p
0)
一般情况，L
t
( 1)
p 1
为实常数， 1，Re p 0, ( ) ex x1dx
WL [h(t)] L [h(t )] L [h(t 2 )] L [h(t n )]
W
1 p
1 p
e p
1 p
e 2 p
1 p
e np
W
enp W
(e p )n
p n0
p n0
Re p 0, e p e Re p 1