(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，(x <1)－2x ＋3，(x ≥1)则f (f (2))＝( )A ．－7B ．2C ．－1D ．5解析： f (2)＝－2×2＋3＝－1， f (f (2))＝f (－1)＝(－1)2＋1＝2. 答案： B2．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8解析： 可知1∈N ，∴N ＝{1}或{1，－1}或{1,0}或{1，－1,0}共4个． 答案： C3．设集合U ＝{0,1,2,3,4,5}，M ＝{0,3,5}，N ＝{1,4,5}，则M ∩(∁U N )＝( ) A ．{5} B ．{0,3} C ．{0,2,3,5}D ．{0,1,3,4,5}解析： ∁U N ＝{0, 2,3，} ∴M ∩∁U N ＝{0,3}． 答案： B4．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( ) A ．{0,2,3} B ．{1,2,3} C ．{－3,5}D ．{－3,5,9} 解析： 注意到题目中的对应法则，将A 中的元素－1代入得－3，3代入得5,5代入得9，故选D.答案： D5．下列四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为( ) A ．f (x )＝x 2＋4 B ．f (x )＝3－2xC ．f (x )＝x 2－5x －6D ．f (x )＝1－x解析： A 、C 、D 中函数在(－∞，0)上是减函数；B 中函数f (x )＝3－2x 在(－∞，0)上是增函数．故选B.答案： B 6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，(x ≥0)－x ，(x <0)若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析： ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝1＝1， ∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝a ＝1，∴a ＝1； 当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1.答案： D7．下列四个集合：①A ＝{x ∈R|y ＝x 2＋1}；②B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ∈R}；④D ＝{不小于1的实数}．其中相同的集合是( )A ．①与②B ．①与④C ．②与③D ．②与④解析： 可知A ＝R ；当x ∈R 时，y ≥1，∴B ＝{y |y ≥1}＝D ；而C 是一点集，故相同的集合只有B 与D .答案： D8．若函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x －1，则当x <0时有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )－f (－x )>0解析： f (x )为奇函数，当x <0，－x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－x －1)＝x ＋1，f (x )·f (－x )＝－(x ＋1)2≤0.答案： C9．一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运年数x (x ∈N)的变化关系如下表所示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是( )A.15 C ．9D ．6解析： 表中给出了二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c .显然，二次函数的图象经过点(4,7)，(6,11)，(8,7)，则⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝7，36a ＋6b ＋c ＝11，64a ＋8b ＋c ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12，c ＝－25，即y ＝－x 2＋12x －25，易知x ＝6时，y 取得最大值．答案： D10．若函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则f (x )＋f (－x )2x<0的解集为( )A ．(－3,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析： ∵f (x )为偶函数，f (－x )＝f (x )，故f (x )＋f (－x )2x <0可化为f (x )x<0，而f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (3)＝0，故当x >3时，f (x )<0，当－3<x <0时，f (x )>0，故f (x )x<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设a ，b ∈R ，集合{a,1}＝{0，a ＋b }，则b －a ＝________.解析： 由题意知⎩⎨⎧a ＝0，a ＋b ＝1，∴b －a ＝1.答案： 1 12．f (x )＝x1－1－x的定义域是________．解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－1－x ≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠0，故函数的定义域有(－∞，0)∪(0,1]．答案： (－∞，0)∪(0,1] 13．已知函数分别由下表给出则f (g (1))的值为______；满足g (f (x ))＝1的x 值是______． 解析： f (g (1))＝f (3)＝1； ∵g (3)＝1而已知g (f (x ))＝1， ∴f (x )＝3；又∵f (2)＝3，∴x ＝2. 答案： 1 214．函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是________．解析： 因为函数的对称轴为x ＝－2(a －1)2＝1－a ，函数在(－∞，4)上为减函数，依题意可得1－a ≥4，所以a ≤－3.答案： a ≤－3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |－3≤x ≤4}和B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)当m ＝－3时，求集合A ∩B . (2)当B ⊆A 时，求实数m 的取值范围． 解析： (1)当m ＝－3时， B ＝{x |－7≤x ≤－2}， A ∩B ＝{x |－3≤x ≤－2}． (2)∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅. 当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，即m >2. 当B ≠∅时，有 ⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，即－1≤m ≤2.综上所述，所求m 的范围是m ≥－1. 16．(本小题满分12分)已知奇函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，(x >0)0，(x ＝0)x 2＋mx .(x <0)(1)求实数m 的值； (2)画出函数图象；(3)若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，试确定a 的取值范围． 解析： (1)当x <0时，－x >0， f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x 又∵f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ， 所以f (x )＝x 2＋2x ，则m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， (x >0)0， (x ＝0)x 2＋2x ， (x <0)函数f (x )的图象如图所示．(3)由图象可知f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，|a |－2]上单调递增，只需－1<|a |－2≤1，即1<|a |≤3，解得－3≤a <－1或1<a ≤3.17．(本小题满分12分)设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解析： (1)∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤3， 当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x <2， A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3， 当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ； ②当B ≠∅，即a <0时， B ＝{x |－－a <x <－a }， 要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可知，实数a 的取值范围是a ≥－14.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，且f (1)＝2，(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (3)求函数f (x )在[2,5]上的最大值与最小值．解析： (1)证明：f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，因为f (1)＝2，所以1＋a ＝2，即a ＝1f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x ，f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2. f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2.∵x 1<x 2，且x 1x 2∈(1，＋∞)， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x )在(1，＋∞)上为增函数． (3)由(2)知，f (x )在[2,5]上的最大值为 f (5)＝265，最小值为f (2)＝52.。