2. 角的度量 度、分、秒的互化 1°＝60′，1′＝60″
3. 角的平分线
B
应用格式：
OC 是 ∠AOB 的角平分线， O ∠AOC ＝∠BOC ＝ 1 ∠AOB
2 ∠AOB ＝ 2∠BOC ＝ 2∠AOC
知识梳理
C A
知识梳理
4. 余角和补角
(1) 定义 ① 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这 两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). ② 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这 两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
针对训练
1. 如图，从正面看A，B，C，D四个立体图形，分别 得到 a，b，c，d 四个平面图形，把上下两行相对 应立体图形与平面图形用线连接起来．
A
B
C
D
aa
bb
cc
dd
考点讲解
考点2 立体图形的展开图
例2 根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称 (1)_长__方__体__，(2)_三__棱__柱__，(3)_三__棱__锥___.
例1 如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面
看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正
方体的个数,画出从正面和左面方向 看到的平面图形.
21
12
解析：根据图中的数字，可知 从前面看有3列，从左到右的 个数分别是1，2，1；从左面 看有2列，个数都是2 .
解：
考点讲解
21 12
从正面看
从左面看
又∵∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－∠EOF，
∠DOE=∠FOD－∠EOF=90°－∠EOF，
∴∠AOC=∠DOE.
∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
(2) 若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
考点讲解
解：∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF = 1 ∠AOE 2 = 1 ×120°=60°. 2
BN C
如图②，当C在线段AB外时， 图②
∵ M，N 分别是 AB，BC 的中点，
1
1
∴ BM BN =
=12BCAB=
= 1
2×12 = 6 (cm)， ×4 = 2 (cm)，
2
2
∴ MN = BM + BN = 6 + 2 = 8 (cm).
方法总结：无图条件下，注意多解情况要分类讨论， 培养分类意识.
(1)
(2)
(3)
针对训练
2. 在下列图形中 (每个小四边形皆为相同的正方形)，
可以是一个正方体展开图的是
(C)
Ａ
B
C
D
考点讲解
考点3 线段长度的计算
例3 如图，已知点 C 为 AB 上一点，AC =15 cm，
CB= 3 AC，D，E 分别为 AC，AB 的中点，求
5
DE 的长．
A
D EC
B
解：∵AC ∴CB
AD =10x =10×3 = 30 (cm)．
考点讲解
例5 点 C 在线段 AB所在的直线上，点M，N分别是 AC，BC的中点. (1) 如图，AC = 8 cm，CB = 6 cm，求线段MN的长；
A M C NB
解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝1 AC＝4 (cm)，CN＝1 BC＝3 (cm)，
提示：先求出∠BOC的度数，再根据 B
角平分线的定义求出∠COM，∠CON，
M
然后根据∠MON=∠COM－∠CON
代入数据进行计算即可得解.
O
A
N
C
解：∵∠AOB是直角，∠AOC=50°， B
∴∠BOC =∠AOB+∠AOC
= 90°+50°=140°，
∵ON是∠AOC的平分线，
O
考点讲解
M A N
(2) 性质 ① 同角 (等角) 的补角相等. ② 同角 (等角) 的余角相等.
知识梳理
(3) 方位角 ① 定义 物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹 角称为方位角，一般以正北、正南为基准， 用向东或向西旋转的角度表示方向. ② 书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西
考点讲解
考点1 从不同方向看立体图形
考点讲解
9 已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB 和
OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的
度数． 解：有两种情况：
CB
如图①所示：
∠AOC =∠AOB+∠BOC =50°+10°=60°.
O 图① A
如图②所示： ∠AOC =∠AOB－∠BOC =50°－10°=40°.
考点讲解
考点4 关于线段的基本事实
例6 如图，是一个三级台阶，A 和 B是这个台阶的两 个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可 口的食物. 若这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，你能画出蚂蚁爬行的最短路线吗？
A
B
解：如图，将台阶面展开成平 A 面图形. 连接 AB 两点，因为两点 之间线段最短，所以线段 AB 为蚂蚁爬行的最短路线.
知识梳理
二、直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
2. 直线、射线、线段的区别
类型 端点个数 延伸性 能否度量
线段 射线 直线
2个 1个 无端点
不能延伸 可度量
向一个方向 无限延伸
不可度量
向两个方向 无限延伸
不可度量
知识梳理
3. 基本作图 (1) 作一线段等于已知线段； (2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.
由(1)知，∠COF=90°，
F
A O
C
E
D B
∴∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－60°=30°.
由(1)知，∠AOC和∠BOD与∠AOD 互补，
∴∠BOD=∠AOC=30°.(同角的补角相等)
考点讲解
例9 已知∠AOB=90°，∠COD=90°，画出示意图
并探究∠AOC与∠BOD的关系．
A
2
2
∴MN＝CM＋CN＝4＋3＝7 (cm).
考点讲解
(2) 若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB = a cm， 其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明
理由；
1
AM
猜想：MN = 2 a cm.
证明：同(1)可得
C NB
CM ＝ 1 AC ，CN ＝ 1 BC，
2
2
∴ MN ＝ CM＋CN ＝ 1 AC＋ 1BC
4. 线段的中点 应用格式：
A
C
B
C是线段AB的中点，
AC ＝BC ＝ 1 AB， 2
AB ＝2AC ＝2BC.
5. 有关线段的基本事实 两点之间，线段最短.
6.连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.
知识梳理
三、角 1. 角的定义 (1) 有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角； (2) 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转 而形成的图形.
D
C
∠ABC =∠ABE+∠CBE= 7x°. E
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD= 1 ∠ABC =3.5x°. A
B
2
∵∠ABE+∠DBE =∠ABD ，即2x + 21= 3.5x.
解得 x = 14.
∴ ∠ABC = 7x°= 7×14°= 98 °.
考点讲解
例8 如图，∠AOB是直角， ON是∠AOC的平分线， OM是∠BOC的平分线. (1) 当∠AOC=50°时，求∠MON的大小；
B
解：不会发生变化.
M
由(2)可知∠MON的大小与∠AOC O
A N
无关，总是等于∠AOB的一半.
C
针对训练
7. 若∠A = 20°18′，∠B = 20°15′30″，∠C = 20.25°，
则
( A)
A. ∠A＞∠B＞∠C B. ∠B＞∠A＞∠C
C. ∠A＞∠C＞∠B D. ∠C＞∠A＞∠B
8. 19点整时，时钟上时针与分钟 之间的夹角是 ( C) A. 210° B. 30° C. 150° D. 60°
C
解：如图①，∵∠AOB = 90°， ∠COD = 90°， ∴∠AOC = 90°－∠BOC， ∠BOD = 90°－∠BOC， ∴∠AOC =∠BOD；
段 MN 的长度.
A
MC N B
解：如图①，当 C 在 AB 间时，
图①
∵ M，N 分别是 AB，BC 的中点，
∴ BM = 1 AB = 1 ×12 = 6 (cm)，
22
BN = 1 BC = 1 ×4 = 2 (cm)，
2
2
∴ MN = BM－BN = 6－2 = 4 (cm).
考点讲解
A
M
B
4. 如图：AB =120 cm，点C，D在线段AB上，BD = 3BC， 点 D 是线段 AC 的中点. 则线段 BD 的长度为_7_2_c_m__.
A
D
CB
考点讲解
5. 已知：点 A，B，C 在一直线上，AB =12 cm，BC =
4 cm. 点 M，N 分别是线段 AB，BC 的中点. 求线
考点讲解
B
针对训练
6. 如图，在A点有一只壁虎，要沿着圆柱体的表面 爬到B点去吃蚊子. 请画出壁虎在圆柱体表面爬行 的最短路线.
B
B
A
考点5 角的度量及角度的计算
考点讲解
例7 如图，BD平分∠ABC，BE 把∠ABC 分成 2︰5
两部分，∠DBE=21°，求∠ABC的度数.