§1.2 复数函数
授课要点：区域的概念，闭区域，复变函数的极限，连续的概念。
难点：极限概念及其与实变函数中相关概念的区别
1、 邻域：以0z 为圆心，以任意小ε半径作圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
注意，这里说的是“圆内”，“圆边”上的不算。
内点、外点和边界点：
设有一个点集E ，若0z 及其领域均属于点集E ，则称0z 为E 的“内”
，若0z 及其邻域均不属于E ，则0z 为外点，若0z 的每个领域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点，边界点的全体称为E 的边界线。
区域：（1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全都
属于该点集。
闭区域：区域B 及其边界线所组成的点集称为闭区域，用B 表示。
练习: 下面几个图所示的，哪个是区域？
答：(a),(b)皆为区域，(a)为单通区域，(b)为复连通区域，(c)不是区域.
例子： ||z r <代表一个圆内区域
||z r <代表一个圆外区域
12||r z r <<代表一个圆环区域
将上面三个式中的 < 换成 ≤， > 换成 ≥，则变成闭区域。
注意：区域的边界并不属于区域，闭区域和区域是两个概念
2、复变函数
定义：形式和实变函数一样，()w f z =
复变函数的定义域不再限于实轴上某个区间，而是复平面上的某个区域. 函数的值域也可以对应复平面上的某个区域（也可能不是）：
变量：z x iy =+
函数：()(,)(,,)w f z u x y iv x y ==+
复变函数的实部和虚部都是一个二元函数（实函数），关于二元实变函数的很多理论都可用于复变函数中（形式可能有所变化）
极限：
设函数f (z )在0z 点的领域内有定义，如果存在复数A ，对于任意的0ε>，总能找到一个()0δε>，使得：当0||z z δ-<时，恒有|()|f z A ε-<，则称0z z →时f (z )的极限为A ，即
0lim ()z z f z A →=
对于非数学专业的学生而言，这段话略显晦涩，一个不太严格但直观的表述是：
当z 以任意方式逼近0z ，()f z 都逼近A
不会因为z 逼近方式之不同，而导致()f z 逼近不同的值，或者发散
举例：（1）222()()xy f z i x y x y
=+++ 222(,)xy u x y x y =+ 2222
lim 22(,)010
kx k u x y x x ky k y ==→++→ 结果将因k 之不同而不同，故极限不存在.
（2）实变函数例子1()f x x
= 0lim ()x f x +→=+∞， lim ()x x
f x -→=-∞ 连续：0
0lim ()()z z f z A f z →== 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，所以，复变函数的连续问题，可以归结为两个二元实变函数的连续问题。
几个简单的复变函数
（1） 多项式：2012n
n a a z a z a z +++ （其中n 为整数） （2） 有理分式：20122012n
n n n a a z a z a z b b z b z b z
++++++
（3） 根式 （4） 指数函数 (cos sin )z x iy x e e e y i y +==+
三角函数：sin 2iz iz e e z i --=，cos 2
iz iz
e e z -+= 双曲函数：2z z e e shz -+=（双曲正弦），2
z z
e e chz -+=（双曲余弦） 对数函数：ln ln ln iArgZ z z e z iArgz ==+
幂函数：ln s s z z e =（s 可以为复数）
复变函数一些与实变函数不一样的地方：
（1） 实变函数sin 1x ≤，cos 1x ≤，但复变函数sin z 和cos z 可以大于1。
（2） x e 是一个单调增长的函数，z e 却是一个周期函数，周期为2i π，shz 、chz 也是周
期为2i π的函数
（3） -1的对数有意义
2ln(1)ln (21)i n i e i n πππ+-==+
附：高数复习：连续的概念
连续的概念：按定义是0
00()lim ()x x f x f x →=，但这样的理解太过机械，但若将连续理解为()f x 在0x 领域的值为00()()()f x f x εδε+=+，其中()δε在0ε→时，()0δε→，
即()f x 在0x 附近的值不能跃变，象阶跃函数1,0()0,0x x x >⎧Θ=⎨<⎩
，在0x =就是不连续的，再如1()f x x
=在0x =附近也不连续。
第0类间断点（可去间断点）：()()()f x f x f x +-=≠
第1类间断点：()()f x f x +-≠
第2类间断点：(),()f x f x +-中之一或全部不存在。