多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.…3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.]5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2》5．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ）(A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B)(C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____. @A. 20(,)a a adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x I dx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I = BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B.ln33(,)y edy f x y dx ⎰⎰C.ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D.3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 10(,)dy f x y dx ⎰⎰B.10(,)dy f x y dx ⎰C.110(,)dx f x y dy ⎰⎰D.10(,)dx f x y dy ⎰⎰》10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ．22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B.22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ．22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ．222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）%（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;【14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n 的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）)(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散 18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )》A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.》2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=@6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。

7． 设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则Ddxdy =⎰⎰234a π 8． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤,2D dxdy =⎰⎰6π9．设()y x f ,在[0， 1]上连续，如果()31=⎰dx x f ，则()()⎰⎰11dy y f x f dx =_____9________.10．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ .;11．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则 ().___________=-⎰Lds y x 012．等比级数∑∞=1n naq )0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞=1n n aq 收敛.13．当__1ρ>__时，-p 级数∑∞=11n pn 是收敛的.14．当_________时,级数()∑∞=--1111n pn n 是绝对收敛的. 1ρ> 15．若(,)f x y =则(2,1)_________.x f = 12,！16．若23(,)(1)arccos 2y f x y xy x x=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭18．设ln xz y=, 则22__________.z x ∂=∂ ln 2ln (ln 1)xy y y x -19. 积分222y xdx e dy -⎰⎰的值等于_________.41(1)2e --,20. 设D 为园域222x y a +≤, 若()228Dx y dxdy π+=⎰⎰, 则_______.a = 2|三、计算题1. 求过点()2,0,1- 且与平面25480x y z -+-=平行的平面方程.解: 已知平面的法向量n=（2，-5，4），所求平面的方程为2（x +2）-5（y -0）+4（z -1）=0 即 2 x -75y +4z = 02．求经过两点M 1（1-，2-，2）和 M 2（3，0，1）的直线方程。

. 解: →21M M = (4, 2 ,1- ) 所求直线方程为122421x y Z ++-==- (3．求过点 ( 0, -3, 2) 且以n =( 3, -2, 1 )为法线向量的平面方程.解: 所求的平面方程为()()()3023120x y z --++-=即 3280x y z -+-=4．设()y xy f z ,=，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2解:,1yf xz=∂∂()()1211112f f x y f f y yx z y y x z ''+''+'='∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ —5．设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy解: 方程两边对x 求导得()2222221122211xyy x x y y y x y x y x -'⋅⎪⎭⎫⎝⎛+='++⋅+ 由此得 yx yx y -+='6．设()y xy f z ,=，其中f 具有二阶连续偏阶导数，求22xz∂∂。

解:u yf xz=∂∂, ()()u u u u f y f x y yf x x z x xz 222=∂∂=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂,7．设y z z x ln =, 求.xz∂∂解: 方程y z z xln ln -=两边同时对x 求导得x z z z x z xz ∂∂=∂∂-12, zx z x z +=∂∂8．设()by ax f z ,=，其中f 具有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2解:1f a xz'=∂∂"=⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂=∂∂∂1212abf af y y x z9．设 .,0sin 2dxdy xy e y x 求=-+ ；解: 方程两边对x 同时求导得2cos 20x y y e y xyy ''⋅+--=由此得 yxy y e y x cos 22--='10．计算二重积分()⎰⎰+Ddxdy y x 23, 其中D 是由直线2,0,0=+==y x y x所围成的闭区域。