(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·皖南八校联考)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论不．正确的是 ( )A ．e 1在e 2方向上的投影为cos θB ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1·e 2＝1解析：e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，故D 不成立． 答案：D2．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α＝( )A.25B ．－25C.25或－25D ．－15解析：由于sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)⇒sin α＝－2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15， 则sin αcos α＝－2cos 2α＝－25.答案：B3．对于任何α，β∈(0，π2)，sin(α＋β)与sin α＋sin β的大小关系是( )A ．sin(α＋β)>sin α＋sin βB ．sin(α＋β)<sin α＋sin βC ．sin(α＋β)＝sin α＋sin β D. 要以α，β的具体值而定解析：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，0<cos β<1,0<cos α<1，所以sin(α＋β)<sin α＋sin β. 答案：B4．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R)，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数解析：∵f (x )＝sin2x －2sin 2x sin2x ＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x cos2x ＝12sin4x ，∴f (x )是最小正周期为π2的奇函数．答案：D5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 在区间[0,2π]上的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，5π4B.⎣⎡⎦⎤3π4，7π4C.⎣⎡⎦⎤0，π4，⎣⎡⎦⎤5π4，2πD.⎣⎡⎦⎤0，3π4，⎣⎡⎦⎤7π4，2π 解析：由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π4或⎣⎡⎦⎤7π4，2π时，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，π2或⎣⎡⎦⎤3π2，7π4，此时y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， 故y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π4递减． 答案：D6．已知a ＋b ＋c ＝0，且cos 〈a ，b 〉＝12，|c |＝3|a |，则a 与c 的夹角等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：将向量a ，b ，c 首尾相接构成三角形，即BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则∠ACB ＝120°，又|c |＝3|a |，根据正弦定理，解得∠CAB ＝30°，故∠ABC ＝30°，所以a ，c 的夹角是150°.答案：D7．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A ．(－13，0)B ．(－π3，0)C ．(13，0)D ．(0,0)解析：f (x )＝2sin(ax ＋π3)(a >0)，∵T ＝2πa ＝1，∴a ＝2π.∴f (x )＝2sin(2πx ＋π3)，由2πx ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2－16，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝13，故(13，0)是其图像的一个对称中心．答案：C8．[理]要得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )的图像，只需将f (x )的图像( ) A ．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)B ．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)C ．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)D ．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)解析：由于f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 又由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 将其图像向左平移π4个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 然后将各点的纵坐标伸长到原来的2倍即得 f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像． 答案：C[文]已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a·b ，要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图像，只需将函数y ＝f (x )的图像( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：f (x )＝cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin2x ， 而函数y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2， 由f (x )向左移π4个单位可得到．答案：C9．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝λ|DC |，设AB ＝a ，AD ＝b ，则AC ＝( ) A ．λa ＋b B ．a ＋λb C.1λa ＋bD ．a ＋1λb解析：AC ＝AD ＋DC ＝b ＋1λAB ＝b ＋1λa . 答案：C10．(2011·天津高考)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36 C.63D.66解析：设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3， 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c 22c 2＝13， 则sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BCsin A ＝4c 3223，解得sin C ＝66. 答案：D11．下列命题中，不．正确的是( ) A ．若向量a ＝(1,2)，向量b ＝(－2,1)，则a ⊥b B ．在△ABC 中，有AB ＋BC ＝AC C ．在△ABC 中，AB 和BC 的夹角为∠BD ．已知四边形ABCD ，则四边形ABCD 为菱形的充要条件是AB ＝DC 且|AB |＝|AD |解析：A 中由于a ·b ＝1×(－2)＋2×1＝0，故a ⊥b ；B 中由向量的加法法则知成立；C 中两向量的夹角为π－∠B ，故不正确；D 中，由AB ＝DC 知四边形为平行四边形，又|AB |＝|AD |，故该平行四边形的一组邻边相等，所以四边形为菱形．答案：C12.将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像按向量a ＝(－π3，0)平移，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式是( )A ．y ＝sin(x ＋π3)B ．y ＝sin(x －π3)C ．y ＝sin(2x ＋2π3)D ．y ＝sin(2x －2π3) 解析：依题意得，平移后所得图像对应的函数解析式是y ＝sin[ω(x ＋π3)]，结合题中所给图像可知，所得函数的周期大于512π且小于2π，又y ＝sin[ω(512π＋π3)]＝－1，即y ＝sin(34ωπ)＝－1，所以ω＝2，故所得函数的解析式是y ＝sin[2(x ＋π3)]＝sin(2x ＋2π3)．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．(2011·新课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.解析：∵a ＋b 与ka －b 垂直， ∴(a ＋b )·(ka －b )＝0，化简得(k －1)(a ·b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a ·b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1.答案：114．已知点P (sin 34π，cos 34π)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则tan(θ＋π3)的值为________．解析：由题可知点P (sin 34π，cos 34π)在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，所以tan(θ＋π3)＝tan θ＋tanπ31－tan θtanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.答案：2－ 315．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图像向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx＋π6)的图像重合，则ω的最小值为________． 解析：由已知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx －ω6π＋π4)＝tan(ωx ＋π6)，得π4－ω6π＝k π＋π6(k ∈Z)，2∵ω>0，∴当k ＝0时，ω的最小值为12.答案：1216．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，给出下列结论①△ABC 的边长可以组成等差数列； ②AC ·AB <0； ③A 7＝B 5＝C 3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1534.其中正确的结论序号是________．解析：∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，则2b ＝a ＋c ，得△ABC 的边长可以组成等差数列，即命题①正确；设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k ，则cos A ＝(5k )2＋(3k )2－(7k )22×5k ×3k ＝－12<0，得角A ＝2π3为钝角，AC ―→·AB ―→<0，即命题②正确；∵a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3≠A ∶B ∶C ，即命题③不正确；若b ＋c ＝8，则a ＝7，b ＝5，c ＝3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝1534，即命题④正确，综上可得正确的命题序号是①②④. 答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像． 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.3∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)列出下表，并描点画出图像如图.18．(本小题满分12分)(2011·天津高考)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)，(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos 2α，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠π8＋k π2，k ∈Z}．f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)．所以2α＝π6，即α＝π12.19．(本小题满分12分)(2011·湖南高考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos(B ＋π4)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．解：(1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，从而sin C ＝cos C . 又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A . 于是3sin A －cos(B ＋π4)＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π6)．因为0＜A ＜3π4，所以π6＜A ＋π6＜11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin(A ＋π6)取最大值2.综上所述，3sin A －cos(B ＋π4)的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－2sin x ·cos x ＋2cos 2x ＋1. (1)设方程f (x )－1＝0在(0，π)内有两个实根x 1，x 2，求x 1＋x 2的值；(2)若把函数y ＝f (x )的图像向左平移m (m >0)个单位使所得函数的图像关于点(0,2)对称，求m 的最小值．解：(1)由题设f (x )＝－sin2x ＋1＋cos2x ＋1 ＝2cos(2x ＋π4)＋2，∵f (x )－1＝0，∴2cos(2x ＋π4)＋1＝0.∴cos(2x ＋π4)＝－22，由2x ＋π4＝2k π＋34π或2x ＋π4＝2k π＋54π，k ∈Z ，得x ＝k π＋π4或x ＝k π＋π2.∵x ∈(0，π)，∴x 1＝π4，x 2＝π2.∴x 1＋x 2＝34π.(2)设y ＝f (x )的图像向左平移m 个单位，得到函数g (x )的图像， 则g (x )＝2cos(2x ＋π4＋2m )＋2，∵y ＝g (x )的图像关于点(0,2)对称， ∴2m ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z.∴2m ＝k π＋π4，k ∈Z.∴m ＝k π2＋π8，k ∈Z. ∵m >0，∴k ＝0时，m 取得最小值π8.21．(本小题满分12分)已知A ，B 是△ABC 的两个内角，a ＝2cos A ＋B 2i ＋sin A －B2j (其中i 、j 是互相垂直的单位向量)，若|a |＝62. (1)试问tan A tan B 是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由； (2)求tan C 的最大值，并判断此时三角形的形状． 解：(1)∵|a |2＝2cos 2A ＋B 2＋sin 2A －B 2＝32，1＋cos(A ＋B )＋1－cos (A －B )2＝32，即cos A cos B －sin A sin B －cos A cos B ＋sin A sin B2＝0，化简整理，得12－3tan A tan B2＝0，故tan A tan B 为定值13.(2)由(1)可知A ，B 为锐角． tan C ＝－tan(B ＋A ) ＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3(tan A ＋tan B )2≤－3tan A tan B ＝－ 3.∴tan C 的最大值为－3，此时△ABC 为钝角三角形． 22．(本小题满分12分)在海岛A 上有一座海拔1 km 的山峰，山顶设有一个观察站P ，有一轮船按一固定方向航行，上午11：00时，测得此轮船在岛北偏东30°、俯角为30°的B 处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西60°、俯角为60°的C 处，如图所示．(1)求船的航行速度；(2)又经过了一段时间后，船到达海岛正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 解：(1)在Rt △PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1， 故AB ＝ 3.在Rt △PAC 中，∠APC ＝30°， 所以AC ＝33. 在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°， BC ＝AC 2＋AB 2＝ (33)2＋(3)2＝303. 故所求航速为303÷16＝230 km/h. (2)∠DAC ＝90°－60°＝30°， sin ∠DCA ＝sin(180°－∠ACB ) ＝sin ∠ACB ＝AB BC ＝3303＝31010. sin ∠CDA ＝sin(∠ACB －30°) ＝sin ∠ACB ·cos30°－cos ∠ACB ·sin30° ＝31010×32－12×1010 ＝330－1020. 在△ACD 中，根据正弦定理得， AD sin ∠DCA ＝ACsin ∠CDA.所以AD ＝AC ·sin ∠DCA sin ∠CDA ＝33×31010330－1020＝9＋313.所以此时船距离A 为9＋313km.。