第七章思考题1．自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？ 解答：（1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。

（2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。

此外，二者的旋磁比不同。

2．电子z S 的本征态常被写为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10β；它们的含义是什么？解答：z S 的本征态是自旋波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a χ的特例。

由于在z S 的本征态中，本征值仅有2 ±与量子数21±=s m 对应，分别记为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==01)(21αχz s ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-10)(21βχz s ；βα,是电子的两个线性独立的自旋态，组成一组正交完备基矢，以此为基矢的表象为z S 表象。

任一自旋态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a χ在z S 表象中可展开为βαχb a +=。

3．对于自旋为1/2的粒子，是否存在态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a χ，在其中0===z y x S S S ？解答：首先令在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a χ态中，()0100122**=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+b a b a b a z z χσχσ设δi e b a 21,21==，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δχi e 121；再由0cos 0=⇒=δσx0sin 0=⇒=δσy 由于δ无法同时满足0sin cos ==δδ，所以，对于自旋为1/2的粒子，使0===z y x S S S 态是不存在的。

4．微观粒子的全同性原理表述为：“全同粒子体系中，体系的物理状态不因交换任意两个粒子而改变”。

问：（1）“物理状态”是指宏观态还是微观态？（2）“交换任意两个粒子”的准确含义是什么？（3）它与全同粒子的不可区分性有什么联系？解答：（1）物理状态不变是指体系的微观态和宏观态都不因全同粒子间的交换而改变，全同性原理中强调的是微观态（量子态）的不变；（2）交换任意两个粒子是指在描述全同粒子体系状态的波函数中交换两个粒子的包括自旋在内的全部坐标；（3）实质相同。

所以，全同性原理往往也被称为不可区分（分辨）原理。

5．量子力学中，角动量是如何定义的？答：量子力学中，角动量是按下式定义ˆ×J ˆ=i J ˆ任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量。

此定义较之角动量的仿佛经典定义L ˆ=r ˆ×p ˆ更具普遍性。

后者只能适用于轨道角动量而不能适用于自旋。

6．能量本征态有可能是角动量2L 的本征态吗？有可能是2L 的本征态吗？答：要看Lˆ与2ˆL是否与Hˆ对易，对易就可能。

实例有：Z（1）有心力场中运动的粒子，例如，氢原子中的定态也是2ˆL的本征态。

（2）沿z方向传播的平面波e ikz就是粒子能量及Lˆ的共同本征态。

Z7．在s态中，L=0，因为轨道角动量的本征函数可以是非球形对称的？概率密度呢？答：l=0时，粒子波函数与概率分布都是球对称的。

角动量指向任何方向是等概率的。

因而，角动量在任何方向的投影皆零，需特别注意的是：2L=0，切不可理解为粒子停止运动。

8．试述电子具有自旋的实验证据与理论依据。

答：在球对称势场中，角动量的本征函数可以是非球对称的，概率分布也可以是非球对称的。

首先，从数学上，有心力场中定态波动方程存在l≠0的解；其次，从物理意义上，球对称势场只是表明外界对体系的作用是各向同性的，没有理由要求体系本身也必须是球对称的。

经典力学中也是如此。

例如，太阳对行星的万有引力势具有球对称性，但行星运动并非球对称的。

9．斯特恩-盖拉赫实验中，只有使用处于s态的中性原子，而不能使用电子，为什么？答：电子具有自旋的实验证据：（1）斯特恩-盖拉赫实验；（2）光谱精细结构；（3）反常塞曼效应以上实验事实，只有引入自旋概念才能得到解释。

理论依据：从相对论量子力学的狄拉克方程出发，可以证明轨道角动量不是运动积分，必须引入补充项构成总角动量，才能满足角动量守恒定律。

引入的补充项就是自旋。

10．（1）自旋可以在坐标表象中表示吗？它是否与外部空间毫无关系呢？(2) 自旋角动量与轨道角动量，性质上有那些差异？答：斯特恩-盖拉赫实验中，不能使用自由电子的原因是：（1）电子带有电荷，在磁场中运动时要受到洛伦兹力作用；（2）电子质量轻，德布罗意波长较长，不易清晰成象。

使用中性s态原子，原因有三：（1）质量较重；（2）不带电荷；处于s态，l=0,可排除轨道角动量的影响。

11．泡利矩阵中，σ与zσ为实矩阵，yσ为纯虚矩阵。

x问：是否可经表象变换，使(1)三个泡利矩阵都是实的；或（2）两个是虚的，另一个是实矩阵。

答：（1）自旋是内禀角动量，故不能在坐标空间表示出来。

（2）轨道角动量是外部空间角动量，可在坐标表象中表示。

量子数为整数，本征态为球谐函数。

自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。

此外，两者的旋磁比不同。

因为i z y x =σσσˆˆˆ与表象无关。

而乘积结果中i 的出现使在任何表象中，三和泡利矩阵x σˆ、yσˆ、z σˆ 不可能都是实的，也不可能两个是纯虚数的另一个实矩阵12．试比较经典角动量的相加与量子角动量的耦合，二者有什么区别？答： 经典力学中，两角动量可按矢量相加法则简单地相加。

它们相加的角度可以是任何的（取决于体系的性质），因此得到的合动量其数值与取向也是连续变化的。

量子力学中，角动量总是一个量子化的量。

不仅两个任意角动量的大小与取向是量子化的，如果它们相互耦合。

则合角动量的大小和与取向也是量子化的，因此两角动量的耦合方式要受到限制，不能是任意的。

例如，在量子力学中，两角动量的耦合满足三角形关系，而按照经典方式描述，这种耦合的限制就相当于两角动量的夹角不能是任意的，而是量子化的。

13．全同粒子是：（1）所有性质均相同的粒子。

（2）质量、速度、动量、能量、角动量均相同的粒子。

（3）自旋相同的粒子（有时被称为同类粒子）。

（4）所有固有物理性质如质量、电荷、自旋、磁矩、……均相同的粒子。

（5）所有固有物理性质相同，且彼此间无相互作用的粒子。

你认为哪个更确切？答：（4）14．微观的全同粒子可区分时，粒子可以被标记编号，这是否意味着这些微观粒子服从经典力学规律，粒子按轨道运动？答：微观的全同粒子即使是可区分时仍具有波动性，仍似波函数描述体系状态，波函数满足波动方程……总之，仍遵守量子力学规律，只是此时不存在波函数的交换对称性。

15．微观粒子的全同性原理如表述为：“全同粒子体系中，体系的物理状态不因交换任意两个粒子而改变。

”问：（1）“物理状态”是指宏观态？还是微观态？（2）“交换任意两个粒子”的确切含义是什么？（3）它与全同粒子的不可区分性有什么联系？答：（1）物理状态不变是指体系的微观态及宏观态都不因全同粒子间的交换而改变。

全同性原理中强调的是微观态（量子态）的不变. （2）交换任意两个粒子是指在描述全同粒子体系状态的波函数中，交换任意两个粒子的全部坐标（包括自旋……）（3）实质相同。

所以，全同性原理也被称为不可区分（分辨）原理。

16．经典的全同粒子系是否存在全同性原理？答：经典的全同粒子总是可以区分的。

在经典全同粒子体系中交换任意两个粒子时，虽然体系的宏观态仍不变但微观态改变了。

所以经典的全同粒子不存在全同性原理。

17．是否可能由于外场的作用，使全同粒子系从一种对称态跃迁到具有不对称性的态？答：全同粒子是固有性质均相同的粒子。

在同样条件下粒子的行为是相同的。

因而，体系的哈密顿量仍然是对称的。

全同粒子系如处在ψ态将Sψ态。

即使改变外场，也永远不会跃迁到Aψ态。

S18．态叠加原理对全同粒子系是否仍适用？全同粒子系的波动方程解的任意线性叠加，是否仍描述该体系的可能态？答：全同粒子系的态必须具有确定的交换对称性。

真实的物理态是既满足波动方程又又满足对称性的那些态。

因而，对全同粒子系，态叠加原理应表述为：体系波动方程的解任意线形叠加中，满足交换对称性的那些态才是体系可能的态。

19．氦原子是玻色子，而计算氦原子的量子能级时，氦原子的定态波函数由反对称波函数描述，是否矛盾？答：上题解答中已强调指出：氦原子是玻色子的确切含义是指由氦原子组成全同粒子系时，氦原子体系的波函数应该是对称的。

计算氦原子的量子能级时，氦原子是当作收外场（原子氦的库仑场）作用的两电子体系（略去原子核的运动）。

电子是费米子。

所以氦原子的定态波函数由反对称波函数描述。

20．量子力学中以什么为依据，把全同粒子系划分为定域系与非定域系？答：微观的全同粒子在某些情形下是可区分的。

如晶体中原子定域在空间不同区域，波函数完全不重叠，全同性原理失效。

由这种定域的粒子组成的系统称为定域系。

含有多个、全同且近独立定域子系的系统遵守玻耳兹曼统计。

满足全同性原理的全同粒子系称为非定域系，其中由费米子组成的系统称为费米系，由玻色子组成的系统称为玻色系。

量子力学中提到全同粒子系而不加说明时，都是指非定域系。

21．为什么把玻色-爱因斯坦统计与费米-狄拉克统计统称为量子统计，把玻尔兹曼统计称为经典统计？量子统计与经典统计是统计原理上的不同，还是其他方面的不同？答：受全同性原理支配的统计叫量子统计。

与之对比，把不受全同性原理控制的玻耳兹曼统计称为经典统计。

因此在全同粒子系中，定域系仍遵守玻耳兹曼统计。

量子统计与经典统计在统计基本原理上是没有区别的。

差别在于：量子统计中，由于全同性原理，全同粒子系内交换任两粒子都不给出新的微观态。

而在玻耳兹曼统计中，计算一宏观态所包括的微观状态数目将不同，因而使两类统计分布不同。

在量子统计中，费米系统又受到泡利不相容原理的制约，导致了与玻色统计的差异。

22．多电子原子中，有些主量子数n较小的态，其能量有时反而比n较大的态大，为什么？答：前已说明，多电子原子中一个电子的能量不仅取决于主量子数n,而且取决于角量子数l.对于同一n,l较大的，能量也较大，因此有可能发生n较小、但l较大的态的能量大于n较大、但l较小的情形。