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2．如图，直线 m 同侧有 A，B 两点，A，A′关于直线 m 对称，A， B 关于直线 n 对称，直线 m 与 A′B 和直线 n 分别交于 P，Q， 下面的说法正确的是( )
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A．P 是 m 上到 A，B 距离之和最短的点，Q 是 m 上到 A，B 距离相等的点
B．Q 是 m 上到 A，B 距离之和最短的点，P 是 m 上到 A，B 距离相等的点
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13．(1)如图(1)，在直线 AB 一侧有 C，D 两点，在 AB 上是否存 在一点 P，使 C，D，P 三点组成的三角形的周长最短，若 存在，找出此点；
解：存在．如图(1)所示，步骤略．
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(2)如图(2)，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA，OB 上分别存 在点 E，F，使得 E，F，P 三点组成的三角形的周长最小， 若存在，找出 E，F 两点； 解：存在．如图(2)所示，步骤略．
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4．如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处，A，B 到河岸的距离 分别为 AC 和 BD，且 AC＝BD，若点 A 到河岸 CD 的中点的 距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，所 走的最短距离是__1_0_0_0___米．
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5．[2018·重庆綦江中学月考]如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 3，面积是 12，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上 一动点，则△CDM 的周长的最小值为____9_._5____．
解：(1)过点 A 作 AP⊥a，并在 AP 上向下截取 AA′，使 AA′＝河 的宽度； (2)连接 A′B 交 b 于点 D； (3)过点 D 作 DC∥AA′交 a 于点 C，则 CD 即为桥的位置．
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10．甲、乙、丙三人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙， 乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．如图所示， 若甲站在∠AOB 内的 P 点处，乙站在 OA 上，丙站在 OB 上， 并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何 处，才能使球从甲到乙、乙到丙、丙到甲这一轮所用的时间 最少？
11．如图，∠AOB＝30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP＝10.若 在 OA，OB 上分别有动点 Q，R，则△PQR 的周长的最小 值是( A ) A．10 B．15 C．20 D．30
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12．[2017·重庆第 71 中月考]如图，在四边形 ABCD 中，∠C＝ 50°，∠B＝∠D＝90°，E，F 分别是 BC，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为( D ) A．50° B．60° C．70° D．80°
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解：如图所示．
作法：(1)作 C 点关于直线 OA 的对称点 C1，D 点关于直线 OB 的对称点 D1； (2)连接 C1D1，分别交 OA，OB 于点 P，Q，连接 CP，DQ，那 么小明沿 C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．
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9．如图，村庄 A，B 位于一条小河的两侧，若河岸 a，b 彼此平 行，现在要建一座与河岸垂直的桥 CD.问桥址应如何选择， 才能使 A 村到 B 村的路程最短？
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1D
5 9.5
2A
66
3 (2，0) 7 见习题
4 1 000
8 见习题
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9 见习题 10 见习题 11 A 12 D 13 见习题
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1．如图，直线 l 是一条河，P，Q 是两个村庄．欲在 l 上的某处 修建一个水泵站，向 P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方 案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( D )
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解：如图，作 D 关于 AB 的对称点 D′，连接 CD′交 AB 于点 E， 则点 E 就是所求作的点．
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8．某班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示的两直排(图中的 AO， BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上．请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
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解：如图所示． (1)分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P2； (2)连接 P1P2，与 OA，OB 分别相交于点 M，N.因为乙站在 OA 上，丙站在 OB 上，所以乙必须站在 OA 上的 M 点处， 丙必须站在 OB 上的 N 点处才能使这一轮所用的时间最少．
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C．P，Q 都是 m 上到 A，B 距离之和最短的点 D．P，Q 都是 m 上到 A，B 距离相等的点
坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 A(3，2)，B(1， －2)．点 P 在 x 轴上，当 PA＋PB 的值最小时，点 P 的坐标 为_(_2_，__0_)__．
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6．如图，AD 是等边三角形 ABC 的 BC 边上的高，AD＝6，M 是 AD 上的动点，E 是 AC 边的中点，则 EM＋CM 的最小值 为____6______．
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7．有两棵树的位置如图，树脚分别为 A，B.地上有一只昆虫沿 A—B 的路径在地面上爬行．小树顶端 D 处一只小鸟想飞下 来抓住小虫后，再飞到大树的树顶 C 处，问小鸟飞至 AB 之 间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．