aa
,
xa x 或 x a
若
V
(
x)

0
,
,
x a x a
则本征值
En

n a
本征函数


n

1 sin n (x a) ,
a 2a

0
,
n 1,2,3,... x a x a
9．三维无限深方势阱
V

0 , ,
《量子力学》小结
第一章 绪论（小结） 第二章 波函数和薛定谔方程（小结） 第三章 量子力学中的力学量（小结） 第四章 态和力学量的表象（小结） 第五章 微扰理论（小结） 第七章 自旋与全同粒子
第一章 绪论（小结）
1、经典物理的困难
黑体辐射，光电效应，原子光谱线系
2、旧量子论
<1>普朗克能量子论
<2>爱因斯坦对光电效应的解释；光的波粒二象性；
(A)2 (B)2 1 [ A, B ] 2
简记为 A B 1 [ A, B ] 2
特别地， xpx 2
第四章 态和力学量的表象小结
• 1．Q表象是以Q 的本征函数系un x 为基底的 表象，在这个表象中，有 Q un x Qn un x
学理论，而且运算简洁。
基矢的封闭性： n n I , dx x x I ,
n
坐标表象
狄拉克符号
(1) F ( x , t ) ( x , t )
F
( 2 ) i ( x , t ) H ( x , t )
t
i H
t
( 3 ) H un ( x ) En un ( x )
F F
( 8 ) * ( x ) ( x ) dx 1
1
4．粒子占有数表象
以线性谐振子的粒子数算符N或者哈密顿Ｈ的本征态 n 为
基矢的表象。
1
湮灭算符：
a



2

2
(xˆ
i

pˆ )
1
产生算符：a



2

2
(xˆ
i

平均值公式是： F F
归一化条件是： I
本征值方程是： F
2． 在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，
满足 S S 1；态的变换是 b S a ；算符的变换
是 F S FS 。幺正变换不改变算符的本征值。
3． 量子态可用狄拉克符号右矢 A 或左矢 A 表示。狄 拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力
d2
d 2
能量本征态 m ()
eim ,

m , , ,
能量本征值
Em

m I
9．L , Lz 有共同的本征函数—球谐函数：Ylm ,
Ylm , ()m Nlm Pl m (cos ) eim
Nlm
an t un x



a t a t

an t



,
a* ( t ) , a* ( t ) , , an* ( t )
算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是: Fnm un*Fumdx
选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。
i


V ( r,t )
t
当势场V ( r )不显含 t 时 ，其解是定态解：
n ( r,t ) n ( r )eiEnt , n ( r )
满足定态薛定谔方程 ： H n En n
其中
H



2
2
2
V ( r,t )
*p (r) p (r)d


( p

p )
7． 角动量 z分量
本征函数 m ()
Lz

i

eim , m , , ,

Lz 的本征值
Lz m
8． 平面转子（设绕z 轴旋转）
哈密顿量
H

L2z 2I

2
2I
( 4 ) um* ( x )un ( x ) dx mn ( 5 ) ( x ) cnun ( x )
n
( 6 ) cn un* ( x ) ( x )dx
H n En n
m n mn
cn n
n
cn n
( 7 ) F * ( x )F ( x )dx
第三章 量子力学中的力学量（小结）
• 1．量子力学中的力学量用线性厄米算符表 示并且要求该算符的本征函数构成完备系。
• 2.厄米算符A的定义： * Adr ( A )* dr
•
厄米算符的本征值是实数。厄米算符
的属于不同本征值的本征函数一定正交。
• 力学量算符的本征函数系满足正交、归一、 完备、封闭等条件。

定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。
2
5．波函数的归一化条件： d 1 （全） 相对几率分布： ( r ) ~ c ( r )
波函数存在常数因子不定性；相位因子不定性。
6．波函数标准条件：波函数一般应满足三个基本
条件：连续性，有限性，单值性。
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7．几率流密度

x p

L

L
Lx, Ly iLz , sx, s y isz , J x, J y iJ z
L2, L 0 , s2, s 0 , J 2, J 0
17．若算符 A、B 对易，即 [A, B ] 0 ，则 A和B有 共同的本征函数系。在 A 和 B 的共同的本征函数表 示的态中测量 A、B，都有确定值。 若算符 A、B 不对易，即 [A, B ] 0 ，则必有
戴维孙,革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系。
4、量子力学的建立
物质波——>薛定谔方程——>非相对论量子力学 ——>相对论量子力学——>量子场论
第二章 波函数和薛定谔方程（小结）
• 1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
• 2．波函数统计解释：
若间粒r子处的d状体态积用元内r找, t到描粒写子，的*几d率 （ 设
c d 。
Fˆn (x) nn (x)
Fˆ (x) c (x)
cn n(x) (x)dx
c (x) (x)dx
力学量的平均值是:
F (x) Fˆ (x)dx
或
F n cn c d
n
4． 连续谱的本征函数可以归一化为 函数。
A, B , C B , C , A C , A, B
（Jacobi恒等式）
16． 一些重要的对易关系：
x, x 0 , p, p 0 , x, p i


L
,
x p

i
j

i
* *

与几率密度 * 满足连续性方程：



j


t
8．一维无限深方势阱
V
(x)

0 , ,
0 xa x 0或 x a
本征值
En

n a
,
n , , ,
本征函数


n

sin n x ,
3．力学量的测量值： 在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的 本征值； 在非的本征态 中测量F，可能值是F的本征值。 将 (x)用算符F的正交归一的本征函数 n (x)展开：
(x) cnn (x) c (x)dx n
则在 (x)态中测量力学量F得到结果为n的几率 为 cn 2，得到结果在 d范围内的几率为:
abc a
b
c
,
阱内 阱外
10．一维谐振子 V x

本征值
En


n



， n ,, ,
本征函数

n
N e x n
Hn ( x)
Nn

,
n n!


11、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中） 三维各向同性谐振子的能级和波函数。
光电效应的规律；爱因斯坦公式 ：
1 2
vm2

h
W0
光子能量动量关系 ： E h , p h n k
<3>玻尔的原子理论
量子化条件 ： pdq nh
定态的假设、频率条件 ： | En Em |
h
3、微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系
E h , p h n k
l ,, ,, m l , l ,, l
11．氢原子
E

En


e

n
e a
n
,
n , ,,
a 2 e2 (玻尔半径）
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm ( ,)
类氢离子
En
e

Enxnynz


nx
ny
nz

3
2
nx , ny , nz 0,1,2,