二次函数经典题一、选择题 61．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,则正确的结论是（ ）A ．abc>0B ．3a +c ＜0C ．4a+2b+c ＜0D ．b 2 -4ac ＜062．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法： ①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④63．如图，半圆D 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是 （ ）A ．21y x x 4B ．2y x xC ．21y x x 4D ．21y x x 464．如右图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象过A （－3，0），对称轴为直线x=－1，下列结论：①b 2>4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a<b ；⑤a －b>m(am ＋b)(m ≠－1)其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个65．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．2b a>1 D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 66．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴的交点在(0,2)的下方，与x 轴的交点为（x 1，0）和（2，0），且-2＜x 1＜-1，则下列结论正确的是（ ）A 、0abc >B 、0a b c -+<C 、210a b ++>D 、0a b +>67．给出下列命题及函数y x =，2y x =和1y x=的图象 ①如果21a a a>>，那么0a 1<<； ②如果21a a a>>，那么a 1>； ③如果21a a a>>，那么1a 0-<<； ④如果21a a a>>时，那么a 1<-. 则（ ）A. 正确的命题是①④B. 错误．．的命题是②③④C. 正确的命题是①②D. 错误．．的命题只有③ 68．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列结论：①a<0，②b<0，③c<0，④4a-2b+c<0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个69．二次函数)0(2≠++=a c bx x a y 图像如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +=，③930a b c ++>，④方程20ax bx c ++=的解是-2和4，⑤不等式20ax bx c ++>的解集是24x -<<，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个70．小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32ab ． 你认为其中正确信息的个数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个71．已知二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图象关于直线1x =对称B ．函数2y ax bx c =++(0)a ≠的最小值是-4C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大D ．-1和3是方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根72．给出下列四个命题：（1）将一个n （n≥4）边形的纸片剪去一个角，则剩下的纸片是n+1或n-1边形；（2）若31x x --=，则x=1或x=3；（3）若函数32(23)k y k x x-=-+是关于x 的反比例函数，则32k =；（4）已知二次函数2y ax bx c =++，且a ＞0，a-b+c ＜0,则240b ac -≤。

其中，正确的命题有（ ）个.A 、0B 、1C 、2D 、473．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,2)-和(1,0)，下列结论中：①0abc >；②20a b +<；③221(2)2a cb +<④1a >；⑤32a c +<；其中正确的结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．574．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．475．已知：二次函数24y x x a =--，下列说法中错误的个数是（ ）①若图象与x 轴有交点，则4a ≤．②若该抛物线的顶点在直线2y x =上，则a 的值为8-．③当3a =-时，不等式240x x a -+>的解集是13x <<．④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(12)-，，则1a =-． ⑤若抛物线与x 轴有两个交点，横坐标分别为1x 、2x ，则当x 取12x x +时的函数值与x 取0时的函数值相等．A ．1B ．2C ．3D ．476．若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），且12x x <，图象上有一点M （00x y ，）在x 轴下方，则下列判断中正确的是（ ）．A ．0a >B ．240b ac -≥C ．0102()()0a x x x x --<D ．102x x x <<77．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴．给出四个结论：① abc 0<；② 2a b 0+>；③ a c 1+=；④a 1>．其中结论正确的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．478．如图，Rt △OAB 的顶点A （－2，4）在抛物线2y ax =上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为A ． 22 ，B ．()22 ，C ．)22，D ．(22 ， 79．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a ﹣b ＜0；②abc ＜0；③a+b+c ＜0；④a ﹣b+c ＞0；⑤4a+2b+c ＞0，错误的个数有【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个80．若二次函数2y ax bx c =++ (a≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是A ．a>0B ．b 2－4ac≥0C ．x 1<x 0<x 2D ．a(x 0－x 1)( x 0－x 2)<081．一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k y k 0x=≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。

则下列结论中，正确的是【 】A ．b 2a k =+B ．a b k =+C ．a b 0>>D ．a k 0>>答案及解析61．B.【解析】试题分析：根据二次函数的图象开口向下推出a ＜0，根据二次函数的图形与y 轴的交点在y 轴的正半轴上推出c ＞0，根据二次函数的图象的对称轴是直线x=1得出2-b a=1，求出b=-2a ＞0，把x=-1代入y=ax 2+bx+c （a≠0）得出y=a-b+c ＜0，根据二次函数的图象与x 轴有两个交点推出b 2-4ac ＞0，根据以上结论推出即可．A 、∵二次函数的图象开口向下， ∴a ＜0，∵二次函数的图形与y 轴的交点在Y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1，∴2-b a=1， b=-2a ＞0，∴abc ＜0，故本选项错误；B 、把x=-1代入y=ax 2+bx+c （a≠0）得：y=a-b+c ＜0，∴a+c ＜b ，即a+c<-2a,∴3a+c<0,故本选项正确；C 、∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1， ∴2-b a=1，b=-2a. ∴4a+2b+c=4a+2(-2a)+c=c>0,故本选项错误；D 、∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，故本选项错误；故选B.考点：二次函数图象与系数的关系．62．C.【解析】试题分析：根据图象得出a ＞0，b=2a ＞0，c ＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（-5，y 1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y 1），根据当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大即可判断④．∵二次函数的图象的开口向上，∴a ＞0，∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0，∵二次函数图象的对称轴是直线x=-1， ∴12ba∴b=2a ＞0，∴abc ＜0，∴①正确；2a-b=2a-2a=0，∴②正确；∵二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）．∴与x 轴的另一个交点的坐标是（1，0），∴把x=2代入y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c ＞0，∴③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c 图象的对称轴为x=-1，∴点（-5，y 1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y 1），根据当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大，∵52＜3， ∴y 2＜y 1，∴④正确；故选C ．考点: 二次函数图象与系数的关系．63．A.【解析】试题分析： 连接01M ，OO 1，可得到直角三角形OO 1M ，依题意可知⊙O 的半径为2，则OO 1=2﹣y ，OM=2﹣x ，O 1M=y ．在Rt △OO 1M 中，由勾股定理得222(2y)(2x)y ，解得21y x x 4．故选A ．考点：根据实际问题列二次函数关系式．64．C.【解析】试题分析：根据二次函数的图象及其性质进行解答.①∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，∴b ²－4ac ＞0，∴b ²＞4ac ；②∵=12b x a-=-，∴b ＝2a ，∴2a －b ＝0； ③当x ＝－1代入y=ax 2＋bx ＋c 中，得y ＝a －b ＋c ，根据图象，当x ＝－1，对应的函数值＞0，∴a －b ＋c ＞0；④∵图象开口向下，∴a ＜0，∴5a ＜2a.又∵b ＝2a ，∴5a ＜b ；⑤∵图象开口向下，对称轴为x ＝－1，∴当x ＝－1，y 最大值为a －b ＋c ；当x ＝m 代入y=ax 2＋bx ＋c 中，得y ＝y=am 2＋bm ＋c ，∴a －b ＋c ＞am 2＋bm ＋c ，∴a －b ＞m （am ＋b ）； 故选择C.考点：二次函数的图象及其性质.65．D ．【解析】试题分析：由开口方向，可确定a ＞0；由当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0，可确定B 错误；由对称轴在y 轴右侧且在直线x=1左侧，可确定x=2b a＜1；由二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y 轴右侧，a ＞0，可得最小值：244ac b a＜﹣2，即可确定D 正确．A 、∵开口向上，∴a ＞0，故本选项错误；B 、∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0，故本选项错误；C 、∵对称轴在y 轴右侧且在直线x=1左侧，∴x=﹣＜1，故本选项错误；D 、∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y 轴右侧，a ＞0， ∴最小值：＜﹣2，∴4ac ﹣b 2＜﹣8a ．故本选项正确．故选D ．考点： 1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x 轴的交点．66．C.【解析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．A 、∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0．∵抛物线与x 轴的交点是（2，0）和（x 1，0），其中-2＜x 1＜-1，∴对称轴x=-2b a＞0， ∴b ＞0．∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＜0．故本选项错误；B 、根据图示知，当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0．故本选项错误；C 、∵把x=2代入y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c=0，4a+2b=-c ，2a+b=-2c ， ∵O ＜c ＜2，∴2a+b+1＞0．故本选项正确；D 、∵两个根之和为正，即b a＞1，即a ＜-b ＜0， ∴a+b ＜0．故本选项错误；故选C ．考点: 二次函数图象与系数的关系．67．A ．【解析】 试题分析：根据二次函数、反比例函数、正比例函数的图象的上下关系即可得出结论：①当三个函数的图象依1y x=，y x =，2y x =次序呈上下关系时，0x 1<< ，命题正确； ②当三个函数的图象依2y x =，y x =，1y x=次序呈上下关系时，1x 0-<<或x 1> ，命题错误；③当三个函数的图象没有出现1y x=，2y x =，y x =次序的上下关系 ，命题错误； ④当三个函数的图象依2y x =，1y x=，y x =次序呈上下关系时，x 1<- ，命题正确. 综上所述，正确的命题是①④. 故选A ．考点：1. 命题和证明；2.二次函数、反比例函数、正比例函数的图象；3.数形结合思想的应用.68．D.【解析】试题分析：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴①③正确； ∵对称轴为x 12b a=-=，得2a-b ， ∴2a+b=0，∴a 、b 异号，即b ＞0，∴②错误，⑤正确；∵当x=－2时，y=4a －2b+c<0，∴④正确．综上所知①③④⑤正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．69．C.【解析】试题分析： ∵抛物线开口向上，∴0a >，∵抛物线对称轴为直线2b x a =-=1，∴0b <，∵抛物线与y 轴交点在x 轴下方，∴0c <，∴0abc >，所以①正确； ∵2b x a=-=1，即2b a =-，∴20a b +=，所以②正确； ∵抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），而抛物线对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0），∴当3x =时，0y <，∴930a b c ++<，所以③错误．∵抛物线与x 轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），∴方程20ax bx c ++=的解是-2和4，∴④正确；由图像可知：不等式20ax bx c ++>的解集是24x -<<，∴⑤正确．∴正确的答案为：①②④⑤．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．70．D.【解析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． ①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0．∵对称轴x=﹣2b a =﹣13，∴b=23a ＜0， ∴ab ＞0．故①正确；②如图，当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0．故②正确；③如图，当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0，∴2a ﹣2b+2c ＞0，即3b ﹣2b+2c ＞0，∴b+2c ＞0．故③正确；④如图，当x=﹣1时，y ＞0，即a ﹣b+c ＞0．抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0．∵b ＜0，∴c ﹣b ＞0，∴（a ﹣b+c ）+（c ﹣b ）+2c ＞0，即a ﹣2b+4c ＞0．故④正确；⑤如图，对称轴x=﹣2b a =﹣13，则32a b ．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．71．C.【解析】试题分析：观察图象，抛物线的对称轴过点（1,0），所以图象关于直线x=1对称，所以选项A 正确，抛物线的开口方向向上，最低点是（1，-4），所以函数2y ax bx c =++(0)a ≠的最小值是-4，所以选项B 正确，在抛物线的对称轴左侧，曲线从左到右是下降的，即x ＜1,y 随x 的增大而减少，所以选项C 错误，抛物线是对称图形，它与y 轴的两个交点应关于对称轴对称，其中一个交点是（-1,0），对称轴是直线x=1,所以另外一个交点是（3,0），所以选项D 正确，故选C.考点：抛物线的图象和性质.72．B.【解析】试题分析：（1）观察图形，分过两个顶点剪去一个角、过一个顶点或不过任何一个顶点剪去一个角作出的图形，找出减少的边数和增加的边数，然后根据多边形的定义即可得到剩下的是n+1或n-1、n ，所以（1）不正确；（2）10=x ，所以03=--x ，解得x=3，所以（2）不正确；（3）原式=x x k x x x k k k 2)32(2)32(23+-=+⋅---，所以2k-3=0,解得k=23,正确；（4）由a-b+c ＜0得22)(c a b +≥，代入0)(4)(4222≥-=-+=-c a ac c a ac b ，所以（4）不正确考点：1.多边形的性质；2.反比例函数的意义；3.二次函数的判别式.73．A.【解析】试题分析：将（-1，2）与（1，0）代入二次函数y=ax2+bx+c 得：a-b+c=2，a+b+c=0， ∴a+c=1，b=-1，c ＜0，∴abc>0∴a=1-c ＞1，2a+b=2a-1＞0，（2a+21c ）2=（213+a ）2＞b 2=1，3a+c=2a+a+c=2a+1＞2， 故选A.考点：二次函数图象与系数的关系．74．B.【解析】试题分析：抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴没有交点，所以判别式△=b 2-4ac=b 2-4c ＜0,所以结论①错误；因为点（1,1）在抛物线上，所以将x=1,y=1代入抛物线解析式得：b+c+1=1,所以结论②错误；由于点（3,3）在抛物线上，所以将x=3,y=3代入抛物线解析式得：9+3b+c=3,化简得：3b+c+6=0,所以结论③正确；当1＜x ＜3时，直线在抛物线上方，所以有：x ＞x 2+bx+c,化简得：x 2+(b-1)x+c ＜0,所以结论④正确.故选B.考点：1、二次函数的性质；2、二次函数与不等式.75．C.【解析】试题分析： ①∵图象与x 轴有交点，则△=1641()0a -⨯⨯-≥，解得4a ≥-；故本选项错误；②∵二次函数24y x x a =--的顶点坐标为（2，4a --），代入2y x =得，422a --=⨯，∴8a =-，故本选项正确；③当3a =-时，不等式240x x a -+>变为：2430x x -->，解集为2x <-或2x >+，故本选项错误；④224(2)4y x x a x a =--=---，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后变为：2(23)41y x a =-+--+，即2(1)3y x a =+--，∵过点(12)-，，∴22(11)3a -=+--，解得：3a =， 故本选项错误；⑤由根与系数的关系，124x x +=，当4x =时，1616y a a =--=-，当0x =时，y a =-，故本选项正确．故选C ．考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．根与系数的关系；3．二次函数图象与几何变换；4．二次函数与不等式（组）．76．C.【解析】试题分析： A ．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点无法确定a 的正负情况，故本选项错误；B ．∵12x x <，∴△=240b ac ->，故本选项错误；C ．若0a >，则010x x ->，020x x -<，所以，0102()()0x x x x --<，∴0102()()0a x x x x --<，若0a <，则（01x x -）与（02x x -）同号，∴0102()()0a x x x x --<，综上所述，0102()()0a x x x x --<正确，故本选项正确；D ．若0a >，则102x x x <<，若0a <，则012x x x <<或120x x x <<，故本选项错误．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．77．C ．【解析】试题分析：①∵a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，错误； ②由图象可知：对称轴b x 2a =-＞0且对称轴b x 2a=-＜1，∴2a+b ＞0，正确； ③由图象可知：当x=－1时y=2，∴a b c 2-+=，当x=1时y=0，∴a+b+c=0. a b c 2-+=与a+b+c=0相加得2a+2c=2，解得a+c=1，正确；④∵a+c=1，移项得a=1－c ，又∵c ＜0，∴a ＞1，正确．故正确结论的序号是②③④．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．78．C【解析】 试题分析：∵Rt △OAB 的顶点A （﹣2，4）在抛物线2y ax =上，∴()24a 2=⋅-，解得：a=1 ∴抛物线解析式为y=x 2。