第九章冲刺985深化内容电磁感应失分点之(三)——电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：模型一 单杆＋电阻＋导轨模型[初建模型][母题] (2017·淮安模拟)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。

整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。

将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。

重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。

求：(1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。

[思路点拨][解析] (1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ， 则杆产生的感应电动势E ＝BLv ， 回路中的感应电流I ＝E R ＋R杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有 mg sin θ－B 2L 2v2R＝ma当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下。

(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中， 根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋12mv m 2又Q 杆＝12Q 总，所以Q 杆＝12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2 θB 4L 4。

[答案] (1)g sin θ，方向沿导轨平面向下 2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下 (2)12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4[内化模型]单杆＋电阻＋导轨四种题型剖析杆以速度v 切割能量观点动能全部转化为内能：Q ＝12mv 02 F 做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：W F ＝Q＋12mv m 2 重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：W G ＝Q ＋12mv m 2重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：W G ＝Q ＋12mv m 2[变式] 此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。

现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在金属杆cd 上，使cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。

解析：分析金属杆运动时的受力情况可知，金属杆受重力、导轨平面的支持力、拉力、摩擦力和安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有F －mg sin θ－F 安－f ＝ma又F 安＝BIL ，I ＝E R ＋R ＝BLv R ＋R ，所以F 安＝BIL ＝B 2L 2vR ＋Rf ＝μN ＝μmg cos θ故F －mg sin θ－B 2L 2vR ＋R－μmg cos θ＝ma当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a m ＝Fm －g sin θ－μg cos θ，方向沿导轨平面向上当杆的加速度a ＝0时，速度最大， v m ＝F －mg sin θ－μmg cos θ·2RB 2L2。

答案：见解析模型二 单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型[初建模型][母题] (2017·北京模拟)如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN 、PQ 固定在水平面内，相距为L 。

一质量为m 的导体棒cd 垂直于MN 、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好。

轨道和导体棒的电阻均不计。

(1)如图1所示，若轨道左端M 、P 间接一阻值为R 的电阻，导体棒在拉力F 的作用下以速度v 沿轨道做匀速运动。

请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功与电路获得的电能相等。

(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为E 、内阻为r 的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S ，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度v m ，求此时电源的输出功率。

(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C ，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。

电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t 1时刻电容器两极板间的电势差为U 1。

求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。

[思路点拨](1)导体棒匀速运动→受力平衡→求出拉力做的功。

导体棒切割磁感线产生感应电动势→产生感应电流→求出回路的电能。

(2)闭合开关S →导体棒变加速运动→产生的感应电动势不断增大→达到电源的路端电压→棒中没有电流→由此可求出电源与电阻所在回路的电流→电源的输出功率。

(3)导体棒在外力作用下运动→回路中形成充电电流→导体棒还受安培力的作用→由牛顿第二定律列式分析。

[解析] (1)导体棒切割磁感线，E ＝BLv 导体棒做匀速运动，F ＝F 安 又F 安＝BIL ，其中I ＝ER在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功W ＝Fv Δt ＝F 安v Δt ＝B 2L 2v 2R Δt电路获得的电能ΔE ＝qE ＝EI Δt ＝B 2L 2v 2RΔt可见，在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功与电路获得的电能相等。

(2)导体棒达到最大速度v m 时，棒中没有电流，电源的路端电压U ＝BLv m ＝E －Ur电源的输出功率P ＝UI(3)感应电动势与电容器两极板间的电势差相等BLv ＝U 由电容器的U -t 图可知U ＝U 1t 1t 导体棒的速度随时间变化的关系为v ＝U 1BLt 1t可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度a ＝U 1BLt 1由C ＝Q U 和I ＝Q t ，得I ＝CU t ＝CU 1t 1由牛顿第二定律有F －BIL ＝ma 可得F ＝BLCU 1t 1＋mU 1BLt 1。

[答案] 见解析[内化模型]单杆＋电容器(或电源)＋导轨四种题型剖析开始时a ＝g ，杆F做的功一部分重力做的功一部重力做的功一部[变式]母题第(3)问变成，图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。

解析：导体棒由静止开始做加速运动，电容器所带电荷量不断增加，电路中将形成充电电流，设某时刻棒的速度为v，则感应电动势为E＝BLv电容器所带电荷量为Q＝CE＝CBLv再经过很短一段时间Δt，电容器两端电压的增量和电荷量的增量分别为ΔU＝ΔE＝BLΔvΔQ＝CΔU＝CBLΔv流过导体棒的电流I＝ΔQΔt＝CBLΔvΔt＝CBLa导体棒受到的安培力f1＝BIL＝CB2L2a 导体棒所受到的摩擦力f2＝μmg由牛顿第二定律得F－f1－f2＝ma联立以上各式解得a＝F－μmgm＋CB2L2显然导体棒做匀加速直线运动，所以导体棒的速度大小随时间变化的关系式为v＝F－μmgm＋CB2L2t。

答案：v＝F－μmgm＋CB2L2t模型三双杆＋导轨模型[初建模型][母题](1)如图1所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度为B 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为l，两根质量均为m、电阻均为R的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直。

在t＝0时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行，大小恒为F的力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。

(2)如图2所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。

在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。

开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度。

若两导体棒在运动中始终不接触，试定性分析两棒的收尾运动情况。

[思路点拨](1)金属杆甲运动产生感应电动势→回路中有感应电流→乙受安培力的作用做加速运动→可求出某时刻回路中的总感应电动势→由牛顿第二定律列式判断。

(2)导体棒ab运动，回路中有感应电流→分析两导体棒的受力情况→分析导体棒的运动情况即可得出结论。

[解析](1)设某时刻甲和乙的速度大小分别为v1和v2，加速度大小分别为a1和a2，受到的安培力大小均为F1，则感应电动势为E＝Bl(v1－v2)①感应电流为I＝E2R②对甲和乙分别由牛顿第二定律得F－F1＝ma1，F1＝ma2③当v1－v2＝定值(非零)，即系统以恒定的加速度运动时a1＝a2④解得a1＝a2＝F2m⑤可见甲、乙两金属杆最终水平向右做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。

(2)ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，回路中产生感应电流。

ab棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动，cd棒则在安培力作用下做加速运动，在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路中总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速。

两棒达到相同速度后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v 水平向右做匀速运动。

[答案] 见解析[内化模型]三大观点透彻解读双杆模型 示意图力学观点 图像观点 能量观点导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热两棒以相同的加速度做匀加速直线运动外力做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热[变式] 若母题(1)中甲、乙两金属杆受恒力作用情况如图所示，两杆分别在方向相反的恒力作用下运动(两杆不会相撞)，试分析这种情况下甲、乙金属杆的收尾运动情况。

解析：设某时刻甲和乙的速度分别为v 1和v 2，加速度分别为a 1和a 2，甲、乙受到的安培力大小均为F 1，则感应电动势为E ＝Bl (v 1－v 2) ①感应电流为I ＝E2R②对甲和乙分别应用牛顿第二定律得 F 1－BIl ＝ma 1，BIl －F 2＝ma 2 ③ 当v 1－v 2＝定值(非零)，即系统以恒定的加速度运动时a 1＝a 2 ④ 解得a 1＝a 2＝F 1－F 22m⑤可见甲、乙两金属杆最终做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。

答案：见解析[提能增分集训] 1.如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l ＝0.5 m ，左端接有阻值R ＝0.3 Ω的电阻。

一质量m ＝0.1 kg 、电阻r ＝0.1 Ω的金属棒MN 放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B ＝0.4 T 。