保险精算
第三章 生命表基础
第三章 生命年表基础
3.1 生命函数 3.2 生命表
3.1生命函数
3.1.1 分布函数 用X表示初生婴儿未来寿命的随机变量，则X 的分布函数 F x 可以表述为：
F x Pr X x
x0
3.1.2 生存函数
S ( x) Pr( X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。 与分布函数的关系： S ( x) 1 F ( x) 与密度函数的关系： f ( x) S ( x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr( x X z ) s( x) s( z )
3.1.3 剩余寿命 定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继 续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 分布函数 t qx ：
概率函数
k T ( x) k 1, k 0,1,
Pr( K ( X ) k ) Pr(k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
3.1.5 死力 ( 定义： x) 的瞬时死亡率，简记 x s( x) f ( x) x ln[ s ( x)] s ( x) s ( x) 死亡效力与生存函数的关系
t
Lx
x t
x
l y dy
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：Tx
Tx l y dy
x

Tx ex lx
o
s ( x) exp{ s ds}
0 t
x
px exp{ s ds}
x
x t
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx exp{ s ds}
死亡效力表示剩余寿命的密度函数
0
x
s( x) s( x t ) G (t ) 1 t px s( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s( x) s( x)
特别：
x
p0 s ( x)
剩余寿命 p x ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 q x ：x岁的人将在1年内去世的概率
t u qx ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世 的概率
3.1.4 整值剩余寿命 ( 定义：x)未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) k,
3.2 生命表
生命表的含义： 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料 编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不 依赖总体分布假定（非参数方法）
3.2.2 生命表的内容
常用符号
新生生命组个体数： l 0 年龄： 极限年龄： l0 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：l x
t x
q Pr(T ( X ) t ) pr ( x X x t X x) s( x) s( x t ) s( x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t
px Pr(T ( x ) t ) Pr( X x t X t ) s( x t ) s( x)
x

lx l0 s( x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数： d x n 特别：n=1时，记作 d x
n
d x lx lx n lx n qx
d x lx lx 1 lx qx
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：t Lx
x
Makeham模型(1860)
x A Bc x
s( x) exp{ Ax B (c x 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0
Weibull模型(1939)
x kx n
s ( x ) exp{ kx n 1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
3.1.6 的解析表达式 De Moivre模型(1729)
1 x x x s ( x) 1

,
0 x
Gompertze模型(1825)
x Bc x
s ( x) exp{ B (c 1) / ln c} , B 0,c 1,x 0