数学分析中极限的求法摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。

关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。

如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。

极限是研究数学分析的基本公具。

极限是贯穿数学分析的一条主线。

学好极限是从以下两方面着手。

1：是考察所给函数是否存在极限。

2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

1：利用两个准则求极限。

(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a→∞= .利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。

例[1]n x =+求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项.......n x ≥+=.......n x ≤+=n x ≤≤又因为1x x ==lim 1n x x →∞=（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。

123,n y y y y a a a a ====++++证明：从这个数列构造来看 ny 显然是单调增加的。

用归纳法可证。

又因为23,n y y y === 所以得21n n y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的。

两端除以 n y得1n nay y <+因为1n y y ≥=则n a y ≤,从而11n ay +≤1n y ≤≤即 n y 是有界的。

根据定理{}n y 有极限，而且极限唯一。

令 lim n n y l→∞= 则 21lim lim()n n n n y y a -→∞→∞=+则2l l a =+. 因为 0,n y >解方程得l =所以lim n n y l →∞==2：利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。

2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。

通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。

首先对函数施行各种恒等变形。

例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。

例；求极限(1)2211lim 21x x x x →---(2)32lim3x x →-(3)3113lim()11x x x →--++(4) 已知111,1223(1)n x n n =+++⨯⨯-⨯求lim n n x→∞解：(1) 2211lim 21x x x x →---＝1(1)(1)lim (1)(21)x x x x x →+--+＝11lim 21x x x →++＝23(2)32lim 3xx →-＝x →x →＝14 (3)3113lim()11x x x →--++＝2312lim 1x x x x →---+＝21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-+-+＝212lim 1x x x x →---+＝-1(4) 因为111,1223(1)n x n n =+++⨯⨯-⨯111111111122334411n n n=-+-+-+--+---11n =-所以 1lim lim(1)1n n n x n →∞→∞=-=3：利用两个重要极限公式求极限两个极限公式 (1) 0sin 1limlim sin 1x x x x x x →→∞==(2)101lim(1)lim(1)xx x x x ex →∞→+=+=在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

例：求下列函数的极限[4](1)230lim lim cos cos cos cos2222n n n x x xx →→∞⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(2)22lim(1)m m n m →∞- 解：(1)23cos cos cos cos2222n x x x x＝231sin cos cos cos cossin 222222sin 2n nn x x xx xx x＝1sin 2sin 2n nxx23lim cos cos cos cos2222n n x x xx→∞＝1 limsin 2sin 2n n nxx →∞sin =lim 2sin2n n n x x →∞＝sin xx230lim lim cos cos cos cos2222n x n x x x x →→∞⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭＝0lim x →sin xx ＝1 (2) 22lim(1)m m n m →∞-＝22222()2lim(1)m n m n mm n m --→∞-＝2222()2lim(1)m n mn m n m --→∞-＝0e ＝14：利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。

例：x>0 x 021sin ,()1,x f x xx ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩ 求 f(x)在x=0的左右极限 解：01lim sin x x x +→⋅＝1 01lim sin x x x -→⋅＝100lim ()lim ()1x x f x f x +-→→== 0lim ()1x f x →=5：利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。

如果 u=g(x) 在点0x 连续 g(0x )=0u ,而y=f(u)在点0x 连续，那么复合函数y=f(g(x))在点0x 连续。

即0lim (())(())(lim ())x x x x f g x f g x f g x →→==也就是说，极限号limx x →可以与符号f 互换顺序。

例：求1lim ln(1)xx x →∞+ 解：令 y ＝lnu, u ＝1(1)xx + 因为 lnu 在点 01lim ln(1)x x u ex →∞=+= 处连续 所以 1lim ln(1)xx x →∞+ ＝1ln lim(1)x x x →∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ ＝ln e ＝16：利用无穷小量的性质求极限：无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。

如果lim ()0x x f x →=,g(x)在某区间0000(,),(,)x x x x δδ-+有界，那么0lim ()()0x x f x g x →⋅=.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

例：求sin limx xx →∞解： 因为 sin 1x ≤ 1lim0x x →∞=所以 sin limx xx →∞＝07：利用等价无穷小量代换求极限：等价无穷小量：当1y z →时，称y,z 是等价无穷小量：记为 y z 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。

但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。

例：求4303lim (sin )2x x x x →+解：sin 22x x∴4303lim (sin )2x x x x →+＝4303lim ()2x x x x →+＝4330lim 8x x x x→+＝88：利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，,x ∀则00()()y f x x f x =+-如果0000()()limlim x x f x x f x yx x →→+-=存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 0x 的导数记为 /0()f x .即/0000()()()limx f x x f x f x x →+-=在这种方法的运用过程中。

首先要选好f(x)。

然后把所求极限。

表示成f(x)在定点0x 的导数。

例：求 2lim()22x x ctg xππ→-⋅解：取f(x)= 2tg x .则22211lim()222lim 2(2)2lim 22x x x x ctg x tg x tg x tg x x πππππππ→→→-⋅==-⋅--＝2()()2lim2x f x f x πππ→--＝/1()2f π＝21(2sec 2)2x x π= ＝129：利用中值定理求极限：1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足 (i ) 在 [],a b 连续 .(ii )在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点ξ，使/()()()f b f a f b a ξ-=-例[2]：求30sin(sin )sin limx x xx →-解： []sin(sin )sin (sin )cos (sin )x x x x x x x θ-=-⋅⋅-+ ()01θ<<30sin(sin )sin limx x xx →-＝[]3(sin )cos (sin )limx x x x x x x θ→-⋅⋅-+＝20cos 1cos 0lim3x x x →-⋅＝0sin lim6x xx →-＝16-2：积分中值定理：设函数f(x) 在闭区间 [],a b 上连续;g(x) 在[],a b 上不变号且可积，则在[],a b 上至少有一点ξ使得()()()()bbaaf xg x f g x dxξ⋅=⋅⎰⎰()a b ξ≤≤例：求 40lim sin n n xdxπ→∞⎰解： 40lim sin n n xdxπ→∞⎰＝lim (0)4n n six πξ→∞⋅⋅-04πξ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ ＝lim(sin )4nn πξ→∞0=10：洛必达法则求极限：洛必达法则只能对00或∞∞型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。