高中数学必修总复习练
习题及答案
SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
第1题．设α为第二象限角，且有cos
cos
2
2
α
α
=-，则
2
α
为（ ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角
Ｄ．第四象限角
答案：Ｃ
第2题．在Rt ABC △中，A B ，为锐角，则sin sin A B （ ） Ａ．有最大值1
2
，最小值0 Ｂ．既无最大值，也无最小值 Ｃ．有最大值12
，无最小值 Ｄ．有最大值1，无最小值 答案：Ｃ
第3题．sin5sin 25sin95sin65-的值是（ ）
Ａ．12
Ｂ．12
-
Ｄ． 答案：Ｄ
第4题．平面上有四个互异的点，，，A B C D ，已知(2)()0DB DC DA AB AC +--=·
，则ABC △的形状是（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．等腰直角三角形
Ｄ．等边三角形
答案：Ｂ
第5题．已知1
(1
3)82A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，，，且向量AC 与向量BC 共线，则C 点可以是（ ） Ａ．(91)-， Ｂ．(91)-， Ｃ．(91)， Ｄ．(91)--，
答案：Ｃ
第6题．已知三角形ABC 中，0BA
BC <·，则三角形ABC 的形状为（ ）
Ａ．钝角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．锐角三角形
Ｄ．等腰直角三角形
答案：Ａ
第7题．已知αβ，均为锐角，且sin αcos β=，求αβ-的值． 解：由π02α<<，π02β<<，得π02β-<-<，ππ
22
αβ-<-<，
又由已知可得cos α=
，sin β=，
所以有sin()sin cos cos sin 2
αβαβαβ-=-=， 所以π4
αβ-=-．
第8题．如右图，三个全等的正方形并排在一起，则αβ+= ． 答案：45（或π4
）
第9题．在ABC △中，若BC =a ，CA =b ，AB =c ，且a b b c c a ==···，则ABC △的形状为 ．
第10= ． 答案：cos4-
第11题．与(512)a =，垂直的单位向量的坐标为 ．
答案：12
513
13⎛⎫- ⎪⎝⎭，
或1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 第12题．已知向量(12)(32)==-，，，a b ，当k 为何值时， （1）k +a b 与3a b -垂直？
（2）k +a b 与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？
解：（1）k +a b =(12)(32)(322)k k k +-=-+，，，，3a b -(12)3(32)(104)=--=-，，，． 当（k +a b ）·（3a b -）0=时，这两个向量垂直， 由10(3)(22)(4)0k k -++-=，解得19k =．
即当19k =时，k +a b 与3a b -垂直．
（2）当k +a b 与3a b -平行时，存在唯一的实数λ，使k +a b λ=（3a b -）． 由(322)(104)k k λ-+=-，，，
得310224k k λλ-=⎧⎨+=-⎩，解得13
13k λ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
．
即当13k =-时，k +a b 与3a b -平行，此时k +a b 13
=-+a b ，
1
3
λ=-，13
a b ∴-+与3a b -反向．
第13题．如图所示，已知正方形ABCD ，P 点为对角线AC
上任一点，PE AB ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连结
DP EF ，，求证DP EF ⊥．
证明：取基底a AB =，b AD =，则因为ABCD 为正方形，
所以有a b =，a b ⊥，即0a b =·． 因为点P 在正方形的对角线AC 上， 所以不妨设AP λ=()[01]λ+∈，，a b ，
则DP ()(1)λλλ=+-=+-a b b a b ，EB (1)λ=-a ，BF λ=b ，
=+EF EB BF (1)λλλ=-+a b ，
=·EF DP 2
2
[(1)][(1)](1)(1)0λλλλλλλλ-++-=-+-=a b a b a b ·
， 即EF DP ⊥，所以有DP EF ⊥．
第14题．若tan m α=，π2πα<<，则sin α=（ ）
Ａ．
Ｂ．±
Ｄ．21
m
m ±
+ 答案：Ｃ
第15题．设αβ，
为钝角，且sin α
cos β=，则αβ+的值为（ ） Ａ．
3π4
Ｂ．
5π4
Ｃ．7π4 Ｄ． 5π4或7π
4
答案：Ｃ
第16题．函数12
πlog sin 24y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的单调递减区间为（ ）
Ａ．π
ππ4k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z ，， Ｂ．ππππ88k k k ⎛⎤
-++∈ ⎥⎝⎦Z ，， Ｃ．3ππππ88k k k ⎛⎤
-
++∈ ⎥⎝⎦
Z ，，
Ｄ．π3πππ88k k k ⎛⎤
++∈ ⎥⎝⎦
Z ，， 答案：Ｂ
第17
题．若sin(180)α+，则
sec()sin(90)
csc(540)cos(270)
αααα-+------的值是（ ）
Ａ．13
-
Ｂ．1
3
Ｃ．127
±
Ｄ． 答案：Ｃ
第18题．若(3cos 3sin 1)(2cos 2sin 1)A B ααθθ，，，，，，则AB 的取值范围是（ ） Ａ．[05]， Ｂ．[15]， Ｃ．(15)， Ｄ．[125]，
答案：Ｂ
第19题．若123
4P P P P ，，，四点共线，且依次排列，3P 是24P P 的中点，1213PP m PP n ==，，则14PP 等于（ ） Ａ．2m n - Ｂ．2n m - Ｃ．n m - Ｄ．m n +
答案：Ｂ
第20题．已知π3sin 85
α⎛⎫-= ⎪
⎝
⎭
，5π9π88
α<<，求2sin (sin cos )1ααα+-的值． 解：由
5π9π88α<<
，得ππ
π28
α<-<， 所以π4
cos 85α⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，
ππ34
cos 8855αα⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭．
第21题．已知函数2()2cos 2f x x x a =+（a 为常数）， （1）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；
（2）若π
02x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，()f x 的最大值为4，a 的值．
解：2π()2cos 22sin 216f x x x a x a ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝
⎭
．
（1）由πππ
2π22π262k x k k -++∈Z ，≤≤得()f x 的单调递增区间为ππππ3
6k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦
，，
k ∈Z ；
（2）因为π02x ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
，，所以，当π6x =时函数π()2sin 216f x x a ⎛
⎫=+++ ⎪⎝
⎭
有最大值34a +=，解得1a =．
第22题．已知函数1()cos2sin 24a f x x a x =+-的定义域为π
02⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，，最大值为2，求实数a 的值．
解：2
22
111()cos 2sin (12sin )sin sin 24242442a a a a a f x x a x x a x x ⎛⎫=+-=-+-=--+-+ ⎪⎝
⎭．
（1） 当02a <时，当0x =即sin 0x =时原函数取得最大值，既有1242
a -+=，解得
6a =-；
（2） 当012a ≤≤时，当sin 2
a
x =时原函数取得最大值，即有212442a a -+=，
解得2a =-或3a =，均与012
a
≤≤矛盾，为增根，舍去；
（3）当12a >时，当π2
x =即sin 1x =时原函数取得最大值，即有
2
2
1122442a a
a ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭
，解得103a =；
综上所述，实数a 的值为6-或
103
．。