第十章重积分9 5y2D2-1 O i T-2图 10 - 1数，故/, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y1 )3 dcr.fh i)i又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2+ j2 ) 3dcr =2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 .Dy 1)：从而得/, =4/ 2 .( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJjf/ ( x, y)da = 0；D如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于：c 是奇函数，即/ ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则= 0.D?3.利用二重积分定义证明：( 1 ) jjda= ( 其中(7为的面积 ) ；IJ(2)JJ/c/(X , y) drr = Aj | y’ (A: ， y) do■( 其中A ：为常数 ) ；o n(3 ) JJ/( x,y)clcr =JJ/( x,y)drr+jJ/( x ,y)dcr,其中/) =/)!U /) 2，， A 为两个I) b\lh尤公共内点的 WK域 .证 ( 丨 ) 由于被枳函数. / U,y) =1 , 故山二t 积分定义得n "9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A<r, = lim ^ Ac,= l i m cr = a.A — 0n( 2) / ( , )( Ic7 = lim ^ Ji x ji)1 n= A lim y/ ( ^ ( , i7, ) A ( 7- , = kf{ x, y) Aa.A- ° 台? { !( 3) 因 为 函 数 / U ， y) 在 闭 区 域 / ) 上 可 积 ，故 不 论 把 ￡? 怎 样 分 割 ，积 分 和 的 极 限 总是 不 变 的 . 因 此 在 分 割 D 时 , 可 以 使 和 / ) 2 的 公 共 边 界 永 远 是 一 条 分 割 线 .这 样 fix. y) 在 A U D 2 上 的 积 分 和 就 等 于 & 上 的 积 分 和 加 D 2 上 的 积 分 和 ， 记 为^/(^, , 17,) A , = ^/( ^, , 17,) A C T , + ^/(^, , 17,) A ,.CT CT/) ( , ", l ： )U0 令 所 有 的 直 径 的 最 大 值 A - 0, 上 式 两 端 同 时 取 极限 ， 即 得 Jf( x, y) i\a = jj f( x,y)da + JJ/( xf y)da.p,un } V, n ；4. 试 确 定 积 分 区 域 / ) ， 使 二重 积 分][(1 - 2x 2 - y 2 ) d? l y 达 到 最 大 值 . SaI)解 由 二 重 积 分 的 性 质 可 知 ， 当 积 分 区 域 / ＞ 包 含 了 所 有 使 被 积 函 数 1 - 2. v 2- V 2大于 等 于 零 的 点 ， 而 不 包 含 使 被 积 函 数 1 - 2/ - y 2小 于 零 的 点 ， 即 当 ￡? 是 椭 圆 2/ + y 2= l 所 围 的 平 面 闭 区 域 时 ， 此 二 重 积 分 的 值 达 到 最 大 .& 5. 根 据 二 重 积 分 的 性 质 ， 比 较 下 列 积 分 的 大 小 ：( 1) Ju+ y) 2山 7 与 J[ U ， 其 中 积 分 区 域 D 是 由 x 轴 、 ^ 轴 与 直 线 A + . 、 =D I) 1 所 围 成 ；( 2) J(x + 7) 2如 与 ■ ， 其 中 积 分 区 域 0 是 由 圆 周 (. r- 2)2+ (. v-l) 2= t) n 2 所 围 成 ；( 3 ) I' MA ； + y)( lor与 ! " [ In(X + y) ] 2 ( 1 ( 7 ，其中 Z ＞是三角形闭 K 域，三顶点分别为l) "(1 ， 0) ， (1 ，1) ， (2,0);( 4) Jpn(:r +y)dcr与I n(:t+ ) ] 2 fW ，其中 / ) = |(.r ,. v) | 3 ， 0彡、彡y1.i ) i)解 ( 1) 在积分 K 域 0 上，故有(x + j) 3 ^ (x + y) 2 .根据二重积分的性质 4 ，可得J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)0 D( 2) 由于积分区域0 位于半平面 | ( A:， V ) | .V + ? 、彡 1 1 内，故在 / ) | : &(.f + y) 2彡 ( A + y) 3? 从『("? J( v + ＞ ) ： drr ^ jj ( x + y) \l f r.第 十 章 重 积 分 9 7( 3) 由 于 积 分 区域 D 位 于 条 形 区 域 1 U ， ) | 1 彡 1 + 7 彡 2 丨 内 ， 故 知 区 域 / ) 上 y 的 点 满 足 0 彡 InU + y) 彡1， 从 而 有 [ lnU + y ) ] 2彡 lnU +. y ). 因 此 jj [ ln( A: + y) ]2( Jo- ^ + y)d( 4) 由 于 积 分 区 域 / ) 位 于 半 平 面 丨 ( x ， y) | . v+ y 彡 e|内 ，故 在 Z) 上 有 ln( x+ y) 彡 1， 2 In (:c + ) ' ).因 此从 而 ： In (-v + ) ' ) ] 彡 Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^Jln( x + y) da.i) a 3 6. 利 用 二 重 积 分 的 性 质 估 计 下 列 积 分 的 值 ：(1) / = |^ 7( 文 + 7 )心，其中 /)= \ (x ,y) 1,0 1|； n( 2 ) / = j ^ ^ sin^d o ■ ， 其 中 / ) = j ( : ) | 0 ^ ^ ^ ,0 ^ y ^ 1 ; sin A ,y TT TT i)( 3) / = J*(A ： +y + l ) d( 7, 其 中 />= { {x,y) | 0 ^ x^ l , 0 ^ j ^ 2 [ ；it( 4) / = J(x 2+ 4y 2+ 9 ) ? ， 其 中 D = 2 2 ^ 4|. do x + y I)解 ( 1 ) 在 积 分 区 域 D 上 ， 0 矣 ; < : 矣 1 , 0英 y 矣 1 , 从 而 0 矣 巧 ? ( * + y ) 矣 ? 又 ￡? 2 的 面 积 等 于1, 因此( 2 ) 在 积 分 区 域 / ) 上 ， 0 矣 sin J: 矣 1 ,0 ^ sin 1， 从 而 0 彡sin 2A ： sin 2y 彡 1， 又 0 的面 积 等 于 TT 2, W 此( 3 ) 在 积 分 K 域 " 上 有 ^ x+y + ? 4 , / ) 的 而 积 等 于 2 , 因 此( 4 ) W 为 在 积 分 K 域 / > ? 上有 0矣 ; t 2 + y 2苳 4, 所 以 有 9 ^ + 4 r 2+ 9 ^ 4( x + y ) + 9 矣 25.2 23 4 I) 的 酣 枳 等 于4TT ， W 此3 6 2+ 9 ) (Ur ^ lOO - ir .TT ^ [ [ ( x + 4/二重 积分的 计算 法. ^ 1. 计 算 下 列 二 甩 积 分 :--于区是域9 8 (. 43 A COS)可用JC 2 2 2 2 r 2 -x JC+ 2 x 2 3 2 2 2 ) 围dx 成 的j 闭20区 域 ； 3 +不等式表示为 | ( 4 m2| )(1:lD< 3 x( 十 +2)y)(;x+dcrda3x4，=-y+其VI+x 中y)y"d(T+是)3xyv"=cos(da 由-两f=.dxfvy 坐+i>标](vl~(文轴X)dx 及-h=+直V3线.r)dx-Xdv+-V+2 、xv-、=2x)2ch 听. b cos .v —rus TT rTI 卜 ( [ ｛高等数学＞ TT. fh( 第七叛 )下册习题全第- ) + ) ] Q( ) ^ = ^J V ( ^sin 2.v sin .v <1 3 0sin^ V(.t ^ Ay ： , 0 .t ；( 3 J jj( x J 2 + v ) 7 T ，. 其 中 D = ( X v) 0 ^ A :^ 1 . 0 ^ v ^ 1 + 3 x da x ,u 1 X( -( 4 ) jjxcas( 的 三 角 形 闭& 2. _ 出枳分 ix: 域，斤x x( ( cos .v — 丄 (.<， s 2. v)X + Y j do ■ ， 其 中 Z > 是 顶 点 分 别 为 ( 0 . 0 j < 77 , 0 ) 和 ( 77 , 77 )i 卜 r): v 列 m 分 :--第 十 章 重 积 分 9 9 ( 1 ) J^ ^ do ■ ， 其 中 / ) 是 由 两 条 抛物 线 7 = v^,y = * 2所 围 成 的 闭 区 域 ； ( 2 ) D = 4 及 y 轴 所 围 成 的 右 半 闭 区 域 ；jfxy dcr, 其 中 D 是 由 圆 周 x 2 + J 22 I) (3 ) JV + 'dcr ， 其 中 / ) = I ( % ， ) ? ) | | A ； | + | J | ^ 1 ! ； D2矣矣(图- ).x ^ y^ J^, 0 x 1 10 2( 4 ) |" U 2 + / - x)<lo ? ， 其 中D解 ( 1) 0 可 用 不 等 式 表 示 为 D 是 由 直 线 y :l 、 y 二xh :2* 所 围 成 的 闭 区 域 . 于 是 ( 2 )D 可 用 不 等 式 表 示 为 0 ? ^ ^ / 4 - y 2 , - 2 矣 7 矣 2 (图1 0 - 3 ) ,( 3 ) 如 阁 I ( ) - 4 ， W = / U " 2， 其 中/>1 I ) 2= =-- ( x ,y ) - x -( x ,y ) |*-1^y+^Jc+1,-1^a;^|,因此--1 0 0 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解Ea3. 如 果 二 重 积 分 |/ ( . r, y) 心 办 的 被 积 函 数 / ( x ， v) 是 两 个 函 数/ ] ( O 及 ) 的 乘n积 ， 即 /(X ， y) = f\(x) ./ “y) ， 积 分 区 域 / ) = { (. V , ) I (1 ^ V ^ / > , r ^ , 证 叫y 这 个 二 重 积 分 等 于 两 个 单 积 分 的 乘枳 ， 即|*/|U) -/ 2 (r) fl atly = [ J/, (. v)(l.v] - [ [/ ： ( > ) ^v]- 证 Jj. /1 ( x ) ? .,2 ( / ) dvd V ~ J [ f J ( v )■ . / ： t ^ ] l ^ x *在 上 式 右 端 的 第 一 次 单 枳 分f / , ( .V ) ?/2 ( .V ) dv中,./ ,( A .)1Jfu t 变招 : 、无关， nn见为常数提到积分5 外， W 此上式“端笏T第十章重积分 1 0 1 而在这个积分中，由于 f/ 2 ( y) d y 为常数，故又可提到积分号外，从而得到? f 2 < ,y) ^ xAy= [ | / 2( y) dj] - [ Jn / , (x)dx ]证毕 .^4. 化二重积分/= Jf(x ， y )daI)为二次积分 ( 分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分 ) ，其中积分区域￡>是:( 1 ) 由直线及抛物线y2 = 4 x 所围成的闭区域；( 2 ) 由 x 轴及半圆周 / + y2 = r2(y 英 0) 所围成的闭区域；( 3 ) 由直线 y = x，； c = 2 及双曲线： K = ^ - ( * > 0 ) 所围成的闭区域；X( 4 ) 环形闭区域IU ， y) | 1 + y2^ 4(.解 ( 1 ) 直线y= x 及抛物线 y2 = 4; c的交点为 ( 0, 0 ) 和 ( 4 , 4 ) ( 图 1 0 - 6).于是fixf( x, y) dy,/ = j[ dy^ / ( * ， y) tk.( 2 ) 将 / ) 用不等式表示2/ 化为如下的先对y、' fyO^ y^ r - x2， - r ^ W/ ?，于是可将后对 * 的二次积分：r/ = J ( 1文 Jf(x ,y)(\y ；2 2 2 2 如 将 0 叫 不 等 式 表 示 为 ~ Vr - y ^ x^ Vr - y, 0 各 / ?， 则 可 将 / 化 为 如 卜 的先 对* 、后 对 y 的 二 次 枳 分 ：--( 3) 如图 10- 7.( 2, 21).0于2是:条边界曲线dr 两两相交，先x,y)求dx得. 3 个交点为 ( 1 , 1 ) ， 2, y 和一、《高等数学》 (第七版 )下册习题全解| dxj[f(x,y)dy.注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线的情况，选取恰当的积分次序 . 本题中的积分区域 / )的上、下边界曲线均分别由—个方程给dy (i_/(^,y) + tlj /( x ,y)dx.出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先对 y、后对^ 的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分 .需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数 /U , y) 的特点 .具体例子 n] ' 见教材下册第 1 44 页上的例 2.?\/4dx J\x y y)dy + d.vl / (. r, v) d> -f( 1■y2/ ( A ： , y)clr +d.vl A -x/(.v Vv)dv.%/T/ (. v, v) d.v -f-v^ W". /4 厂/ ( , > ) d.v 、/4 -、?'- 、/ ( v , y)( l . \.-f ?I( 4 ) 将D 按图 10 - 8( a) 和图 10 - 8( 1 > ) 的两种不同方式則分为 4 块，分別得重 积1 0 3d.t.图 10 -8, 5. 设 / U ， Y ） 在 D上 连 续 ， 其 中/ ） 是 由 直 线; ==所 围 成 的 闭 区域 ， 证 明dx |f(x,y)Ay证 等 式 两 端 的 二 次 积 分 均 等 于 二 重 积 分 J/ U , y ） d o? ， 因 而 它 们 相 等 .I ）^ 6.改 换 下 列 二 次 积 分 的 积 分 次 序 ：(2) J) dj |： f(x,y)dx ；解 （ 丨 ） 所 给 二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 J[ / U ， ; K ） （ ^ ， 其 中 o = 丨 h ， y ） 1°^ ^ ^广 2f yix -x 2 ( 4 ) | 叫 2 f{x, y)dy- , fix /-sin x(5) (lx\ f{x,y)Ay\ ( 6 ) I J(x, y) Ay.JO J - sinyr- " 0 ^ j ^ I （ . /> n|■改写为 | Uj ） | * 矣 y 矣 1， 0 ^ ^ I | （罔 10 - 9 ） ,于 是原 式 = 丄 <ixj/(x,y)dy.( 2 ) 所 给 一 . 次 枳 分 等 于 二 ' Ti 积 分 |/ U , y) 山 ， . K : 中 / ) = I|. y 2^ ^ < 2y,0 ^21. M I) njm 为 {u ’y) I 音 矣 j ^ 7^,0 ^ x 在 4)( 1 冬 1 1(> - I0) ， W 此原式 = J, xjy/ ( x, y) y.1 0 4 《高等数学＞ （第七版）下册习题全解( 3 ) 所 给 二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 .其 中 D = : (. . ) | - 1 v v VU X ^ 1 - y 2,0 彡 > ? 彡 1 ; ? 又 D 可 表 示 为 ： ( JC ， )*) 丨 0 彡 y 彡 V 1 - . r 2 , - 1 = J ( 图 10 - 11) ， 因此 f 1 f V1 -X~ 原 式 =J ^ dxj / ( x,v) dy.( 4 ) 所 给 二 次 积 分 等 于 二 重 积 分其 中 D = : (. v. v) ' 2 -h1彡 .r 彡 2 :. 又 D 可 表 示 为 ： ( A: , V ) | 2 - 1 彡 .t?彡 1 + Y 1 — v 2 , 0 :( 图s/lx - x % 故原 式 = 丄 d)jf(x % y)dx. ( 5 ) 所 给 二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 ］ |/ (. 10 ) ( 1^ , ) 1 : 中 / )= 1(. v. v) | 0 ^ v ^I)-y 2 ^ .V ^ 1$ 、 飞V 彡 110 - 12) ，x 彡 e | ? 又 / ) 可 表 示 为 | ( A : ， ＞ ? ) | e 、 彡 A? 彡 e ， 0 彡 、 彡 1 i ( |劄 10 - 1, 故原 式 = L ( I. 、 | ,./X . 、 ， .、 ) ( l. v.( 6 ) m 1 ( ) - 1 4, 将积分 | > < : 域 / ) 丧示为 / ), U/ ) 2 ，其中A) , = j U，、 ) | arcsin > ^--广 1 r ir - arcsin >1 一 , 一 彡 彡 | .于 T T - arcsin y ， 0 彡 y 彡 1 | ,D 2 = | (.r,2arcsi n 1 )'0 y) 原 式 = I dy/( x, y) dx.是 y1 0 5 第f( 十xy 章 重 积y) c\xJO Jarcsin )^ 7. 设 平 面 薄 片 所 占 的 闭 区 域 D 由 直 线 ;t = 2， y = 和 ; r 轴 所 围 成 ， 它 的 面 密 度/ x(. t, v) = x 2 + y 2, 求 该 薄 片 的 质 量 .解 D 如 图 1 0 - 15 所 示 . 所 求 薄 片 的 质M = jJ/ Lt( x 9 y) dcr = ^ 2 2dyj ( x + y ) dxrt dr Ay-x + xy r[ +(2 3 2”)+ ,1 2| 冬 | 1 0- 1 5 8. i | 灯 |l |四 个 平 而 A： = 0 ， y = 0 ， ;t =I ， v = I 所 闲 成 的 柱 休 被 平 面 z = 0 及 2.r + 3 y + z 6 藏 得 的 立 休 的 体 积 .Y = s i n A 的 反 闲 数 足 A =i i r r s?M y- - 1 x ( 子 ? 中 ， c\) ''i x E | o?? TT足 ih y - H in x = sin ( T T - x)"n! J TT - x ^ ar cKin y,从 ifii 得 T T - iin- Hin ~ 反 闲 数 ^y.解江力一 E J .它？？芪是； c 0:. S 二苎泛 7：省 ?。